모든 변수가 양수와 음수 모두 발생하더라도 1-in-3 SAT는 NP-hard로 유지됩니까?

표준 문제 1-in-3 SAT (또는 XSAT 또는 X3SAT)는 다음과 같습니다.
인스턴스 : 정확히 3 개의 리터럴을 포함하는 모든 절이있는 CNF 수식
질문 : 절당 정확히 1 개의 리터럴을 만족시키는 할당 설정이 있습니까?

문제는 NP- 완료이며 변수가 부정되지 않더라도 여전히 어려운 상태입니다. 각 변수가 적어도 한 번은 긍정적으로 그리고 최소한 한 번은 부정적 으로 발생 해야한다면이 문제가 쉬워 지거나 어려운지 궁금합니다 .

1-in-3 SAT가 어렵다는 것을 보여주는 3SAT의 일반적인 감소는 조항을 대체합니다. $(x\lor y \lor z)$ 조항 별 $(\lnot x \lor a \lor b)$ , $(y\lor b\lor c)$ , $(\lnot z \lor c \lor d)$ 어디 $a,b,c,d$ 각 절에 대해 신선합니다. 따라서이 축소는 내 질문에 대답하는 데 도움이되지 않습니다. 절에서 정확히 1 리터럴이 참이면 비대칭 적으로 2 리터럴이 거짓이기 때문에이 변형의 경도를 나타내는 가제트를 만드는 데 어려움을 겪었습니다. 그것이 쉬운 것으로 판명되면, 조항 세트의 파티션 측면에서 생각하면 그렇게 할 수 있지만 어떻게 볼 수는 없습니다.

cc.complexity-theory np-hardness sat

— 도미니크 피터
소스

2 sat로 줄일 수 있습니까?

— Joshua Herman

힌트 : 각 var

X_{i}

$X_i$ , 절 추가

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$ 그리고 말하기

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$ .

— 닐 영

하, 그것은 작동합니다 (물론 추가

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$ ). 조금도 불만족스럽지 않고 누구나 해결할 수 있도록 질문을 열어 두겠습니다.

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$ 장난.

— Dominik Peters

닐 영의 생각을 바탕으로 자신의 질문에 대한 완전한 답을 쓰도록 권유 할 수 있습니까? (실수로, 그것이 왜 "만족스럽지 않은지"잘 모르겠습니다. 축소는 축소입니다.)

— DW

그 특별한 경우가 당신이 정말로 염려하는 것이라면, 그 추가 제약을 반영하기 위해 질문을 편집하는 것이 합리적입니까?

— DW

한 의견에서 OP는 절당 3 개의 고유 변수가있는 인스턴스를 생성하는 축소에 관심을 표명했습니다. 간단한 접근 방식은 다음과 같습니다.

절당 3 개의 개별 변수를 사용하여 1-in-3 SAT에서 감소합니다.

우선, 입력 공식의 모든 절을 출력 공식의 절로 포함하십시오.
둘째, 세 가지 새로운 변수를 도입 $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ 출력 공식에 다음 세 절을 추가하십시오. $(\neg F_1, F_2, F_3)$ , $(F_1, \neg F_2, F_3)$ , $(F_1, F_2, \neg F_3)$ .
마지막으로 각 변수에 대해 $x$ 원래 공식에서 새로운 변수를 소개 $x'$ 출력 수식에 다음 두 절을 추가하십시오. $(x, x', F_1)$ 과 $(\neg x, \neg x', F_1)$ .

이 축소가 우리가 원하는 것을 수행하는지 확인합시다. 다음과 같은 속성이 있습니다.

각 절에는 항상 세 개의 고유 변수가 있습니다.
각 변수는 일부 절에서 긍정적으로 나타나고 일부 절에서는 부정적으로 나타납니다.
입력 공식은 출력 공식과 같습니다.

속성 1은 확인하기 쉽지 않습니다. 속성 2도 쉽게 확인할 수 있습니다 : 변수 $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ 수식의 다른 모든 변수는 세 번째 글 머리표에 추가 된 절에서 긍정적으로 그리고 부정적으로 발생합니다.

속성 3에 관해서는, 이것은 쉽지 않지만 여전히 쉽습니다. 변수에 대한 유일한 할당이라고 쉽게 주장 할 수 있습니다. $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ 두 번째 글 머리 기호에서 각 절을 만족시키는 것은 $F_i$ 거짓. 그러나 다음에 대해 false 값을 가정하면 $F_1$ , 조항 $(x, x', F_1)$ 과 $(\neg x, \neg x', F_1)$ 세 번째 글 머리 기호에 추가 된 경우 $x' = \neg x$ . 다른 제약이 없기 때문에 $x'$ 즉, 입력 수식에 대한 만족 할당을 출력 수식에 대한 만족 할당으로 항상 확장 할 수 있습니다. $x'$ 해당의 부정 $x$ 각각 설정 $F_i$ 거짓으로.

— 미하일 루 도이
소스