복사 언어의 상태 복잡성은 무엇입니까?

숫자 을 주자. 다음 언어를 고려하십시오. . $n$ $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

즉, 은 길이 의 복사 문자열 세트입니다 . $L_n$ $2n$

다음을 고려 상태 복잡성 함수 되도록 인식 작은 푸시 된 자동 상태의 수이다 . $s$ $s(n)$ $L_n$

질문 : 대한 의미있는 하한을 공식적으로 증명할 수 있습니까 ? $s(n)$

내 추측 : . $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

알려진 상한 : . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

규칙 :

(1) 스택 알파벳은 이진이어야합니다.

(2) 입력 테이프는 단방향이며 입력 문자에서 멈출 수 없습니다.

— 마이클 위 하르
소스

나는 현재 의미있는 하한이 없습니다. 언어를 인식하는 CFG에 필요한 변수 수의 하한을 증명할 수있을 것 같습니다. 비록, 나는 이것을 완전히 확신하지 못한다.

— Michael Wehar

내 직감은 입력 테이프에서 스택으로 문자를 푸시하면 문제가 발생한다는 것입니다. 나중에이 비트를 검색하려면 그 위에 밀어 넣은 모든 비트를 버려야합니다. 다시 말해서, 스택이 더 많이 밀릴수록 나중에 더 많이 잊게되므로 스택이 도움이되지 않는 것으로 보입니다.

— Michael Wehar

비고 : DFA (스택없는 오토마타)의 경우 지수 상태 복잡도 하한을 증명할 수 있습니다.

— Michael Wehar

의 간단한 문제에 대해 합리적인 하한을 보여줄 수 있습니까 ?

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— András Salamon

보다 정확한 상한은 상태 인 것 같습니다.

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— András Salamon

Yuval이 기술 한 기술 :

이 유한 언어를 설명하는 다항식 크기 CFG가 있습니까?

(당신은 또한 읽을 수 있습니다 : 특정 유한 언어에 대한 CFG 크기의 하한 )

CFG의 지수 하한을 매우 쉽게 표시 할 수 있습니다. 대한 Chomsky Normal Form의 문법을 로 하자 . 모든 단어 적어도 하나의 비 - 터미널 존재 받아들이 subword 의 의 사이의 길이를 갖는 및 . 하자 에 위치 할 $G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ 이 하위 단어가 발생하는 위치 적어도있다 모든 단어 비트 공통 되도록 및 . 결과적으로 동일한 및 를 갖는 최대 단어가 있을 수 있습니다 . 따라서 적어도 비 터미널이 있습니다. $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ $2^{\Theta(n)}$

또한 PDA는 다항식 크기의 CNF에서 CFG로 변환 될 수 있으므로 의 상태 복잡성에 을 합니다. $2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— 조셉 스택
소스

다시 한번 감사합니다! 나는 지금보고 그것을 확인하기 위해 생각할 것입니다. :)

— Michael Wehar

다시 : 길이를

에서

또 다른 문제가 발생했습니다. 나는 Yuval과 비슷한 방식으로 논쟁을 세분화해야했습니다 (중복 중복). 이제 나는 그것이 옳다고 생각합니다. 답변을 수정하고 댓글을 삭제했습니다.

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

— Joseph Stack

경우에 그것은 다른 사람 도움 : 메모를 한 번 것을

선택되었다,

오직의 단일 subword 얻을 수

그 위치에서 시작

. 따라서 이것은 실제로이 언어에 대한 올바른 CNF-CFG가 각각 하나의 긴 하위 단어를 생성하는 많은 비 터미널을 가져야 함을 보여줍니다.

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

— András Salamon

내 논문의 정리 7 : cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf 도 참조하십시오 .

— 유발 Filmus

@YuvalFilmus Andras는 상한과 하한을 맞추기 위해 약간의 시간을 보냈다는 점도 주목할 가치가 있습니다. 내 친구 Pepe와 나는 유한 한 언어의 일반적인 클래스를 정의하고 그 기술을 적용했습니다. 우리는 아무 것도 쓰지 않았습니다. 관련 문제가 발생하면 기꺼이 협력 할 것입니다. 다시 감사합니다.

— Michael Wehar