MLTT는 Prop없이 효과적으로 pCiC입니까?

Martin-Löf 유형 이론은 기본적으로 불확실성 없이 유도 성 건축의 추정 적 미적분학 입니까? $\mathtt{Prop}$

밀접하게 관련되어 있지만 보다 더 많은 차이점이 있다면 그 차이점은 무엇입니까? $\mathtt{Prop}$

type-theory calculus-of-constructions

— 사용자
소스

필자의 책에서 MLTT는 (구적이고 확립 된) 직관에 의존하는 유형 이론이며, 건축 계산법을 Coq 증명 조교와 연관시킵니다. 그러나 나는 틀릴 수 있습니다.

— Thomas Klimpel

MLTT는 ID 유형을 사용하여 동등성을 처리합니다. CiC의 예측 단편에서 평등은 무엇입니까?

— Martin Berger

@MartinBerger : CiC에도 ID 유형이 있습니다!

— 코디

이것은 조금 :-) 다른 27 개 회원국없이 영국이 유럽 연합 (EU)입니다 여부를 묻는 것과 같다

— 안드레이 바우어

@AndrejBauer 내가 재치있는 사람이라면 나는 brexit 농담을 생각 해낼 것이지만 불행히도 나는 그렇지 않다. :-P

— 사용자

짧은 대답은 그렇습니다. MLTT는 CIC와 합리적으로 동등 할 수 있습니다 Prop.

주요 기술 문제는 Martin-Löf Type Theory에 대해 이야기 할 때 수십 가지 변형이 있고, 아마도 놀랍게도 CIC에 대해 이야기 할 때 변형이 있다는 것입니다. 예를 들어 Benjamin Werner의 논문에 정의 된 CIC 버전을 사용 Prop하면의 Set또는 유니버스 가 없으므로 제거하는 것이 의미 가 없습니다 Type.

이러한 이론 중 하나에서 고려할 수있는 주요 변형은 다음과 같습니다.

우주 : 그것들의 수와 정의 방법 (Palmgren, On the Universes in Type Theory , 많은 비등가 변형에 대해 논의), 그리고 우주 다형성 이 인정 되는지 여부 .
귀납적 유형 / 가족 : Agda는 귀납적 재귀 유형을 인정하지만 생성자 및 제거기의 유형이 얼마나 큰지, 매개 변수와 색인 처리 등의 유형이 얼마나 큰지에 따라 더 많은 변형이 있습니다.
타입 생성자의 입성 . 이로 인해 시스템이 Agda의 EM과 일치하지 않습니다. 물론 에피 그램은 더 극단적 인 "관측 유형 이론"을 가지고 있지만 이것은 전혀 다른 것으로 간주 될 수 있습니다.
Axiom K : 특정 버전의 종속 패턴 일치와 함께 무료로 제공됩니다.
의도적 대 확장 적 : 이것은 근본적으로 새로운 변환 규칙이 확장 시스템 형식 검사를 결정할 수 없게 만듭니다 (하지만 훨씬 강력합니다!). Martin-Löf 자신도 두 가지 유형의 시스템을 모두 고려한 것 같습니다.
$\frac{Γ ⊢ t : {I d}_{T y p e} A B}{Γ ⊢ A = B}$ $\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$
의 존재 coinductive 유형 과 연관된 제거 원리.

위의 모든 변형 (OTT 제외)은 문헌에서 고려되었으며, 각각 Agda 및 Coq 시스템과의 연관성 때문에 "Martin-Löf Type Theory"또는 "Inductive Constructions의 계산 계수"라는 이름과 관련이 있습니다.

따라서 긴 대답은이 두 시스템 중 하나의 정확한 정의가 무엇인지에 대한 합의가 없다는 것입니다.

— 코디
소스