유전 적 그래프 클래스에 n-vertex 그래프가 전부 또는 일부만 포함될 수 있습니까?

10

$Q$ 를 유전적인 클래스로 하자 . (유도 된 서브 그래프를 취하는 것에 대해서는 유전학 = 폐쇄 됨) 은 $Q_n$ 의 $n$ 정점 그래프 세트를 나타냅니다 . 빠지는 모든 vertex 그래프 의 비율이 로 1에 가까워 지면 에 거의 모든 그래프 가 있다고 가정 해 봅시다 . $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

질문 : 유전 적 그래프 클래스 에 거의 모든 그래프가 포함되어 있을 수 있지만 모든 에 대해 없는 하나 이상의 그래프가 있습니까? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— 안드라스 파라고
소스

10

대답은 '노 - 고정을위한 하자 작은 그래프의 정점의 수가 될 NOT IN . 이제, 고려 보다 훨씬 더 큰 . 임의의 그래프를 들어 정점의 확률 제 정점 유도 밖에는 . 정점으로 세트 분할 사이즈의 이산 세트 상기 세트 중 어느 것도 동일 없다는 가능성을 고려하여 에 있다는 것을 보여준다 확률 경향이 으로 $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ 증가합니다. $n$

— 다니엘로
소스

5

이것은 사소하지 않은 유전 클래스가

으로 축소되는 모든 그래프의 일부를 포함하고 있음을보다 강력하게 증명 합니다.

을 여러 개의 분리 된

로 분할 하고 동일한 인수를 사용하여

와 같은 것으로 강화할 수 있어야합니다 .

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago : Erdos-Hajnal 추측 [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture]의 알려진 결과에서 직접 답을 추론 할 수는 없습니다 . 얻어진 좋은대로되지 않는 바인딩 (당신 만의 일부분 얻을 것으로 보인다

.

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

1

@David Eppstein :

는 다음과 같은 고전적인 결과 를 재귀 적으로 적용하여 얻는 것입니다 (

번). 순서

의 투영 평면이있는 경우

의 모서리 세트 를

로 분할 할 수 있습니다.

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

의 에지 이산 복사

.

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

10

다니엘의 대답에 덧붙이 기 위해 유전학 수업의 정확한 밀도는 조합론에서 광범위하게 조사되었습니다. 구조 의 클래스 의 경우, 레이블이없는 슬라이스 은 개의 정점 이 있는 의 구조의 동형 클래스 집합입니다 . 구조 클래스 의 (레이블이없는) 속도 는 . 그래프 클래스를 나타냅니다 . 문제는 인지 묻고있다 $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ 유전성 그래프의 경우 . $Q$

유전 적 대한 한계는 항상 0이므로 근본적인 문제는 어떻게 함수가 그 자체가 행동합니다. 하자 의 수를 나타내는 정수 파티션 , $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ . 이 라벨이없는 속도가 "점프"밝혀 : 중폴리 노미 바운드이거나 그렇지 않은 경우 $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ . $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks 및 Vera T. Sós, 유전 그래프 속성의 최고 속도 , Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99 9–19, 2009. doi : 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( 인쇄물 )

— 안드라 살 라몬
소스