그래프 동형에 대한 그래프의 이형성 수

와 는 크기가 두 개의 정규 연결 그래프 라고 하자 . 하자 치환 된들의 집합 되도록 . 경우 다음 의 automorphisms 세트 인 . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

의 크기에서 가장 잘 알려진 상한은 무엇입니까 ? 특정 그래프 클래스 (완료 / 사이클 그래프를 포함하지 않음)에 대한 결과가 있습니까? $A$

참고 : automorphism 그룹을 구성하는 것은 최소한 그래프 이소 형성 문제를 해결하는 것만 큼 (계산 복잡성 측면에서) 어렵습니다. 실제로,자가 형성을 계산하는 것은 다항식 시간이 그래프 이소 형성과 동일하다 (cf. R. Mathon, "그래프 이소 형성 계수 문제에 대한 메모").

— 짐
소스

Wormald가 게재 될 경우, 연결된이며 의 automorphisms 수 후 2N 꼭지점 정규적인 그래프 분할 . 특히 이것은 정규 경우에 대한 사소한 지수 상한을 제공합니다 . 이 줄에는 일반적인 정규 그래프에 대한 결과가있을 수 있습니다 . $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

하한 들어 화학식 고려 가진 게이트가 첨가되어 입력 팬 2. 그럼의 resut 사용 게이트 Toran 컨스 수를 정규적인 그래프 와 automorphism 그룹이 가능한 모든 평가를 인코딩하는 꼭짓점 . 이것은 의 다형성의 수가 이상 임을 의미합니다 . 이것은 정점의 수에 따른 정규 그래프 의 다형성의 수에 대한 지수 하한이 있음을 보여준다 . $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— 마테우스 데 올리베이라 올리베이라
소스

다음 그래프를 고려하십시오. 1. 정규 그래프 및 정규 그래프 (아무 것도 완료되지 않았거나 사이클 그래프)도 E 개의 모서리를 통해 서로 결합됩니다.이 결합 된 그래프는 불규칙한 그래프 2입니다. 정규 그래프는 정규 그래프 와 모서리가 있습니다. 정규 그래프 의 두 꼭지점이 없으며 정규 그래프 와 동일한 수의 모서리를 갖습니다 . G의 이형성이 지수가 될 수 있습니까?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

예. 그래프 G2는 지수 수의자가 형성을 가질 수있다. H1은 n 개의 꼭지점이 1 ~ n 인 r1 정규 그래프가되게하고, H2는 다음 과정 (3 개의 주석으로 나누어 짐)으로 얻은 그래프라고하자. D를 다이아몬드 그래프, 즉 이전에 인접하지 않은 두 정점을 연결하는 모서리와 함께 4 사이클이라고하자. 이 두 정점이 D의 내부 정점이라고 가정하십시오. 다른 두 정점은 D의 외부 정점입니다. 분명히, 내부 정점을 바꾸고 외부 정점을 건드리지 않는 자동 Mormorism이 있습니다.

— 마테우스 드 올리베이라 올리베이라

이제 1에서 n (n + 1) / 2까지 번호가 매겨진 n (n + 1) / 2 정점을 갖는 두 사이클 C1 및 C2의 분리 된 결합을 고려하십시오. 또한 diamod 그래프의 n (n + 1) / 2 복사본을 고려하십시오. 이제 각 i에 대해 D_i의 외부 정점 중 하나를 C1의 i 번째 정점에 연결하고 다른 외부 정점을 C2의 i 번째 정점에 연결합니다. 그런 다음,이 과정에 의해 얻어진 그래프 H2는 3 규칙적이며, 각 D_i의 내부 정점들이 개별적으로 교환 될 수 있기 때문에 지수 수의 자기 모양이있다.

— Mateus de Oliveira Oliveira

이제 H1의 각 정점 v_j에 대해 다이아몬드 D_i의 두 내부 정점이 H1의 동일한 정점에 연결되는 방식으로 v_j에서 다이아몬드의 내부 정점까지 2j 모서리를 추가합니다. 이것은 다이아몬드의 내부 정점이 여전히 스왑 될 수 있도록 보장하므로, 그래프 G2의 총자가 형성 수는 지수 적입니다.

— 마테우스 드 올리베이라 올리베이라

차수 과 최대 원자가 의 연결된 그래프는 최대 의 차수 그룹을 가짐을 쉽게 알 수 있습니다. 두 번째 정점부터 시작하여 각 정점이 이전에 온 하나 이상의 정점에 인접하도록 정점의 순서를 찾습니다. 하자 첫 번째 고정 하위 그룹이 될 정점을. 이것은 및 인 하위 그룹의 내림차순 체인입니다 . 이것은 궤도 안정제 정리하여 따르 및 에 대한 .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

그래프의 연결을 해제하면 정점 수와 관련하여 상한이 없습니다.

들어 - 정규 그래프의 분리 된 조합 걸릴 완전한 그래프 . 그러면 그래프에는 꼭짓점이 있고이형성. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— 토리
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