대각선의 무한 그래프에는 무한 성분이 있습니까?

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우리의 점을 연결한다고 가정 방향성 에지들의 세트를 이용하여 등 어느 것이 접속된다 또는 은 모든 대해 독립적이고 균일하게 무작위 로 연결됩니다 . $V = \mathbb{Z}^2$ $E$ $(i, j)$ $(i + 1, j + 1)$ $(i + 1, j)$ $(i, j + 1)$ $i, j$

( 이 책 의 제목과 표지에서 영감을 얻었습니다 .)

이 그래프에 무한히 큰 연결 성분이있을 확률은 얼마입니까? 마찬가지로 그래프의 평면 임베딩을 보완하는 $\mathbb{R}^2 \setminus G$ 를 고려하십시오. 보체에 무한 연결 성분이있을 확률은 얼마입니까?

분명히, 모든 대각선이 같은 방식을 가리키면 그래프와 그 보완 물 모두 무한한 구성 요소를 갖습니다. 위의 종류의 균일 한 무작위 그래프는 어떻습니까?

graph-theory

— 마티아스 라브
소스

2

평면 그래프 의 이중 그래프 인 AFAICS 가 연결되어 있으므로 두 번째 질문은 실제로 이중 그래프가 무한한가? 아니면 다른 이중 그래프 개념에 대해 이야기하고 있습니까?

— Emil Jeřábek은 Monica

2

유한성 : 사이클 이이 질문을 고무시키는 그림에서 눈에 띄지 않지만 예상 수는 무한합니다 (각 , 제곱의 모서리 은 독립적 으로 확률 의주기를 형성합니다 .

i, j

$i,j$

(2 i, 2 j), (2 i, 2 j + 1), (2 i + 1, 2 j), (2 i + 1, 2 j + 1)

$(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$

1 / 16

$1/16$

— 클라우스 드라 거

@ EmilJeřábek 죄송합니다. 고전적인 의미에서 이중을 의미하는 것은 아닙니다. 평면 삽입의 보완을 의미한다는 것을 분명히하기 위해 편집했습니다.

— Mathias Rav

9

확률은 0입니다.

이것은 다음 정리에서 비롯됩니다 (그래프의 그래프 확률에 대한 정리 5.33, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf 참조 ).

정리 에서 본드 퍼콜 레이션을 고려하십시오 . 여기서 격자 점 사이의 각 모서리는 확률 열립니다 . 원점이 무한 연결된 구성 요소에있을 확률은 0입니다. $\mathbb Z^2$ $\frac12$

우리는 우리의 문제를이 문제로 줄일 수 있습니다. 기본적으로 에 대한 결합 여과의 분리 된 (그러나 종속적 인) 사본은 단지 2 입니다. 모서리가 원점을 포함하는 무한 격자 모양을 형성하는 구성 고려하십시오 . 모든 모서리를 뒤집 으면 다이아몬드의 또 다른 무한 격자 . 와 실제 구성의 교차 고려 와와 . 이들 각각은 정확히 에서 본드 여과의 모델이며 회전했습니다 . 임의의 점이 무한 군집에있을 확률은 0입니다 ( 의 모서리는 의 모서리에 연결할 수 없습니다 ). $\mathbb Z^2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $\mathbb Z^2$ $45^{\circ}$ $D_1$ $D_2$

결론적으로, 확률이 0 인 카운트 가능한 이벤트 수의 합은 확률이 0입니다. 격자 점이 무한 클러스터에있을 확률을 합산하십시오.

(임의로 큰 구성 요소가 존재하면 빨간색 청어가 있습니다. 요점을 수정하고 제한되지 않은 구성 요소에 있는지 묻습니다.)

— 홀든 리
소스

원점을 수정하고 제한되지 않은 구성 요소에 있는지 묻는다면 모든 모서리를 무시할 수 있으며 의 단일 결합 결합 인스턴스가 의 모서리와 함께 유지 됩니다. 유용한 예는 Bollobás and Riordan 2008, 그림 2 , 45도 회전입니다.

D_{2}

$D_2$

Z^{2}

$\mathbb{Z}^2$

D_{1}

$D_1$

— Mathias Rav

2

흠, 여기 첫 번째 시도가 있습니다. 다음 두 가지 중요한 사항을 살펴 보겠습니다.

이 그래프에 König의 무한대 구성 요소에 의해 무한대로 연결된 구성 요소가있는 경우 무한한 간단한 경로를 갖습니다.
그래프에 무한한 간단한 경로가있는 경우 각 개별 모서리 방향 선택 (따라서 모든 유한 모서리 선택 세트)과 무관합니다. 따라서 이것은 꼬리 사건이며 Kolmogorov의 0 대 1 법칙에 의해 확률은 0 또는 1입니다.

그래서 0 또는 1입니까? "타자기를 가진 무한한 원숭이"정리에 의해이 그래프는 추측 할 수 있지만,이 그래프에는 확률 적으로 길이가 임의 인 큰 길이의 간단한 경로가 포함되어 있기 때문에 즉시 명확하지 않습니다. 물론 실제로 가능성이 무한한 경로 가 있음을 엄격히 증명하려면 더 많은 것이 필요합니다 .

— 조 베벨
소스

3

0을 관찰하는 것도 좋은 생각입니다. 그래프에 무한 연결 성분이있는 이벤트는 Borel이므로 측정 할 수 있으므로 질문은 처음부터 의미가 있습니다. (무한 간단한 경로로 재 작성 할 때 명확하지 않다.)

— 에밀 예라 벡 모니카 지원

1

여기에 그 대답이 그렇다는 약한 경험적 증거가 있습니다. 하자 상의 임의의 수의 그래프 랜덤 각 대각선을 선택하여 정의 격자. 다음은 도달 가능성 확률 추정치 대 의 플롯입니다 (패리티로 인해 항상 도달 할 수없는 정점 무시). $G_n$ $2n+1 \times 2n+1$ $n$

제곱을 로 재조정하면 확률은 스케일과 무관하게 부드러운 함수로 수렴하는 것으로 보이며, 이는 원점이 무한대에 도달 할 확률이 양수라는 것을 의미합니다. $[0,1]^2$

그러나 하향 추세를 볼 정도로 충분히 계산하지 않았을 수도 있습니다 ( 플롯은 다른 것보다 약간 작게 보입니다). $n = 800$

여기에 코드 : https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

— 제프리 어빙
소스

1

업데이트 : 의견에서 지적했듯이, 정리는 무한한 경로를 암시하지 않으므로이 답변은 전체적으로 잘못되었습니다. 다른 확률로 사용할 수 있는지 확실하지 않습니다.

대답은 '그렇다'이다. 무한한 길이 존재한다. 실제로 이러한 모든 그래프에 대해 무한한 경로가 존재합니다 . 확률은 필요하지 않습니다.

렘마 : 가 격자 의 대각선 그래프라고 하자 . 그런 다음 짝수 패리티 정점을 통해 왼쪽에서 오른쪽으로의 경로 또는 홀수 패리티 정점을 통해 위쪽에서 아래쪽으로의 경로가 있습니다. $G$ $n \times n$ $n \ge 2$

$G$

정리가 사실이라면, Joe가 지적한대로 König의 무한 버전이 이어집니다. ( 업데이트 : 잘못되었습니다. 의견보기)

— 제프리 어빙
소스

2

(- n, 0)

$(-n, 0)$

(0, n)

$(0, n)$

(0, n)

$(0, n)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(- n, 0)

$(-n, 0)$

n > 0

$n > 0$

사실 Koenig는 결국 적용되지 않습니다.

— Geoffrey Irving

2

특히, 나는이 부류가 여전히 유효하다고 생각하지만 물론 원하는 결과를 내포하지는 않습니다.

— Geoffrey Irving