효율적인 알고리즘이없는

감안 의 계수되도록 에 의해 제한되는 , 않는 보류 ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

Schwartz-Zippel lemma는 일반 필드와 적용 문제에 대한 효율적인 무작위 알고리즘이 있기 때문에 여기에 적용됩니다 . $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

우리는이 문제가 효율적인 비 무작위 화를 기대합니다.

이 문제에 효과적인 비 무작위 화가 없다면 결과는 무엇입니까?

big-picture derandomization conditional-results

와

는 어떻게 주어 집니까?

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer 정기적 다항식 아이덴티티 테스트에서 어떻게 제공됩니까?

Kabanets-Impagliazzo의 결과에 따르면 효율적인 비 무작위 화를 기대하지 않습니까?

— Suresh Venkat

예.

$\:$ 나는 표준 표현 이후로 그것을 가져올 것이라고 생각했습니다 .

$\hspace{1.76 in}$ 다른 문자열은 고유 한 요소를 나타냅니다.

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat : Kabanets & Impagliazzo는 다음을 포함하여 여러 가지 사항을 입증했습니다. 1. PIT의 임의 화가 해제 될 수있는 경우 NEXP에는 다중 크기 (부울) 회로가 없거나 영구 회로에 다중 크기 (산술) 회로가 없습니다. 2. 지속 물에 초고 규모 회로가 필요한 경우, PIT는 "약하게"무차별 화 될 수 있습니다. 1의 결론은 일반적으로 2의 전제를 유지하는 것으로 추측되기 때문에, 나는 KI 결과가 우리가 효율적인 비 무작위 화를 기대한다고 말한다.

— Bruno

답변:

PIT가 에 있기 때문에 효율적인 비 무작위 화가 없다면 (특히 )이지만 어쨌든 사실이기 때문에 그렇게 놀라운 것은 아닙니다. 이것은 물론 를 의미하므로 를 의미하는 것은 거짓이됩니다. 예를 들어, 충분히 강력한 의사 난수 생성기가 존재하지 않으며 $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ 은 지수 크기의 회로를 갖습니다! $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— 조슈아 그로 호프
소스

이 지반에 관계없이 필드의 보유 따라서 (의 계수

여기서

계수 일부 경계 포함)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

실제로, 이미 지적했듯이 Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton은 임의의 필드에 적용되며 필요한 것은 다항식의 정도 (계수 크기 또는 회로 크기가 아님)에 국한됩니다. 매우 적은 수의 예외가있는 경우, PIT는 일반적으로 차수 제한 버전 (변수 수에서 다항식에 의해 제한되는 정도)을 의미합니다.

— Joshua Grochow

어리석은 것일 수 있습니다. 계수 크기와 회로 크기에 대한 독립성을 언급했습니다. 크기는 coeff의 정도와 크기에 달려 있다고 가정했습니다. 내가 잘못?

회로 크기는 모델에 따라 계수 크기에 따라 달라질 수 있습니다 (종속 모델은 일반적으로 "일정하지 않음"이라고 함). 회로 크기는 크기가 최소한 정도의 로그라는 점에서 정도에 매우 느슨하게 의존하지만 실제로 SZDL에서 나오는 coRP 알고리즘은 정도에 불과합니다. 회로로 제공되는 기능에도 의존하지 않으며 쉽게 평가할 수있는 형태 ( "블랙 박스")로되어 있습니다.

— Joshua Grochow

감사합니다. 그 derandomization을 괴롭히는 조금 계수 자체가 구조적으로 복잡 할 수 있더라도 효율의 손실없이 할 수있다

큰 그림 문제가 궁금합니다. 자연수는 단항 표기법으로 정식으로 표현 될 수 있지만,이 표현은 공간 비효율적입니다. 이진 표기법으로 표현할 수도 있습니다.이 방법은 공간 효율적이지만 더 이상 정식이 아닙니다. 테너 리 표기법 또는 10 진수 표기법을 사용할 수도 있기 때문입니다. 그러나 회로에 의한 표현은 이진 표기법보다 훨씬 덜 효율적이지 않습니다.

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

그리고 (...)*(1+1)로 대체 할 수 있으므로 x:=(...) in x+x곱셈이 필요하지 않습니다. 그러나 곱셈이 있기 때문에 같은 숫자를 효율적으로 나타낼 수도 있습니다 1011^101101. 또한이 표현에서 숫자를 효율적으로 더하고 빼고 곱할 수 있습니다. 그러나이 표현은 숫자에 국한되지 않으며 다변량 다항식 함수와 똑같은 방식으로 작동합니다. 그리고 다항식의 경우, 다항식은 교환 링의 자유 대수이고, 회로로서의 표현은 모든 자유 대수에 사용될 수 있기 때문에 매우 자연스러운 표현입니다.

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ 이러한 숫자의 대부분은 물리적 우주로 표현 될 수있는 것보다 많은 정보를 포함하기 때문에 거부됩니다. 그 진창의 대부분은 나를 웃게 만들었습니다. 그러나이 시점에서 저는 생각하게되었습니다. Willard Van Orman Quine과 같은 철학자들은 특히 실현 불가능한 가능성의 존재를 주장하는 것에 반대하여 항의했습니다. 왜냐하면 그것들은 의미 상 자신과 동일하고 서로 구별 될 수없는 무질서한 요소로 이어지기 때문입니다. 그래서 나는 여전히 덧셈, 뺄셈 및 곱셈을 수행하는 숫자 표현에 대해 궁금해하고 적어도 두 숫자가 서로 구별되는지 여부를 의미있게 결정하는 것이 합리적이라는 것을 알았습니다. 회로 표현은 이것을 달성합니다 ...

자유 대수의 다항식과 회로 표현으로 돌아갑니다. 다음은 큰 그림 질문입니다.

$n\geq 4$ $n$
효율적인 결정 론적 아이덴티티 테스트가 P! = NP와 같이 일반적으로 생각되는 추측을 무효화 할 수있는 무료 대수학이 있습니까?
-> 그렇습니다. 정기 정류 링의 자유 대수에 대한 아이덴티티 테스트는 NP 완료입니다. 오랫동안 이것을 알지 못했습니다. 아래를 참조하십시오 ...
$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

나는 여기 에서 규칙적인 정사 고리 (즉, 일반화 된 역 연산을 가진 고리)의 유리 대수에 대해 궁금합니다 . 왜냐하면 그것들은 유리수와 합리적인 함수를 나타낼 수 있기 때문입니다. 이 표현을 숫자로만 사용했다면이 표현을 효율적으로 테스트 할 수 있을지 궁금했을 것 a < b입니다. 이 질문은 자유 정류 링에는 의미가 없지만 다항식에 대해서는 의미가 있습니다. 그러나 부분적으로 정렬 된 고리는 대수 대신 관계형 구조이므로 다른 종류의 질문입니다 ...

Schwartz-Zippel lemma는 일반 필드와 Z ⊂ Q에 적용 되며이 문제에 대한 효율적인 무작위 알고리즘이 있기 때문에 여기에 적용됩니다 $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

다른 한편으로, 나는 당신이 단지 충분히 오랫동안 테스트한다면 합리적인 의사 난수 생성기를 사용하여 모든 실제적인 목적을 위해 PIT를 결정할 수 있다고 생각합니다. 나는 당신이 측정 값 제로 세트와 비슷한 나머지 (무한한 작은) 의심을 결코 제거 할 수 없다고 믿습니다.

— 토마스 클림 펠
소스

P! = N P

$P!=NP$

나는 자유로운 대수 문제를 생각하고 있지만 당신이 생각하는 것은 아닙니다