평면 그래프의 트리 폭 계산의 복잡성을 결정하기 위해 여전히 열려 있습니까?

상수 , 입력 그래프 주어지면 그 트리 폭 이 인지 여부 를 선형 시간으로 결정할 수 있습니다 . 그러나 와 가 모두 입력으로 주어지면 문제는 NP-hard입니다. ( 출처 ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

그러나 입력 그래프가 planar 이면 복잡성에 대해 알려진 것이 훨씬 적습니다. 이 문제는 2010 년에 공개 된 것으로 2007 년 설문 조사 와 Wikipedia 페이지에서 브랜치 분해에 대한 주장도 제기 되었습니다 . 반대로, 이전에 언급 된 설문 조사 의 이전 버전 에서는 문제가 NP-hard (참조 증명없이)라고 주장 하지만 이것이 오류라고 가정합니다.

이것은, 주어진 문제의 복잡도를 결정하기 위해 개방 여전히 과 평면 그래프 결정, treewidth 갖는다 ? 그렇다면 최근 논문에서 주장 되었습니까? 부분적인 결과가 있습니까? 그렇지 않은 경우 누가 해결 했습니까? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
소스

흥미로운 질문입니다. 설문 조사를 재부팅하십시오. 내 2 센트로 칩을 만들기 위해 선형 시간 증명의 원래 소스는 Bodlaender 라고 생각 하지만 점근 적 복잡성 표기법에 의해 숨겨지는 상수 요인은 엄청납니다. 아마도 당신의 질문에 대한 흥미로운 분할 / 확장은 평면 제한 이이 맥락에서보다 실질적인 상수 요소를 허용하는지 여부입니다.

— Fasermaler

나는 그것이 "유명하고 오래된 문제"라고 생각합니다. 따라서 종이를 찾지 못하면 여전히 공개적인 문제 일 것입니다. 다른 "증거": 코스 그래프 알고리즘 강의 , 응용 프로그램 및 구현 (2015), 코스 그래프 및 알고리즘 강의 : 고급 주제 (2014), 백과 사전 알고리즘 (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel : 그것과 branchwidth가 서로 일정한 범위 내에 있고 다항식 시간으로 평면 branchwidth가 계산 될 수 있다는 사실을 사용하여 상수 팩터 (3/2) 내에서 근사화 될 수 있습니다. 또한 Leighton–Rao를 사용하여 모든 그래프에 대해 로그 내에서 근사 할 수 있습니다. kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler Bodlaender 알고리즘의 첫 번째 단계 (및 선형 시간이 아닌 FPT였던 이전 알고리즘)는 동적 프로그래밍을 사용하여 최적 분해를 찾을 수있는 대략적인 트리 분해를 계산하는 것입니다. 근사치가 더 엄격할수록 두 번째 단계가 더 빠릅니다. 따라서 branchwidth를 사용하여 평면 트리 폭에 대한 더 가까운 근사치를 찾을 수 있다는 사실은 (선형에서 다항식으로 돌아가는 비용으로) 매개 변수에 더 잘 의존하는 것으로 보입니다. 그러나 나는 이것을 신중하게 분석하는 논문을 모른다.

— David Eppstein

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

내가 아는 한 평면 그래프의 트리 폭은 여전히 열려 있습니다. 내가 아는 가장 최근의 참고 자료는 Mike Fellows의 65 번째 생일을 맞이한 festschrift에 등장한 2012 년 Bodlaender의 '트리 폭 및 경로 폭의 고정 매개 변수 이동성'이라는 설문 조사 입니다. 문제는 설문 조사 결과에 나와 있습니다.

— 바트 얀센
소스

감사! (그리고 다른 참고 문헌을 제안 해준 @MarzioDeBiasi에게도 감사드립니다.) 호기심 때문에 누군가 문제가 처음 제기 된시기를 아는 사람이 있습니까?

— a3nm