숫자 필드 체의 최악의 경우 복잡도는 무엇입니까?

주어진 합성 일반 숫자 필드 체는 정수 인수 분해를위한 가장 잘 알려진 인수 분해 알고리즘입니다 . 무작위 알고리즘이며 예상되는 복잡성을 얻습니다 $N\in\Bbb N$ $N$ 을 인수합니다. $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ $N$

이 무작위 알고리즘에서 최악의 경우 복잡성에 대한 정보를 찾았습니다. 그러나 정보를 찾을 수 없습니다.

(1) Number field sieve의 최악의 복잡성은 무엇입니까?

(2) 또한 결정 론적 하위 지수 알고리즘을 제공하기 위해 임의성을 제거 할 수 있습니까?

답변:

$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

$x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

이 모든 알고리즘의 공칭 최악의 복잡성은 무한대입니다. 2 차 체와 숫자 필드 체의 경우 항상 동일한 생성하는 반면 타원 곡선 방법에서는 항상 동일한 타원 곡선을 생성 할 수 있습니다 . 지수 시간 알고리즘을 병렬로 실행하는 등 여러 가지 방법이 있습니다. $x$

— 유발 필름 러스
소스

ECM도 다루었으므로, 우리 는 이 알려지지 않고 무작위 화 되는 ECM을 사용하여 시간 에서 을 계산하는 하위 exp 무작위 알고리즘을 알고 있습니다. 당신이 구하는 방법에 많은 시련이 알고리즘의 접미사의에 대한 추정이 있습니까 과 경우 ?

n! r

$n!r$

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

ECM에서 매개 변수를 선택할 때 일반적으로 이 무엇인지 모릅니다 곡선이 매끄러 울 확률 와 각 곡선을 테스트하는 데 필요한 실행 시간 사이의 균형을 유지 합니다. 보통 균형점은 입니다. 따라서 예상되는 시도 횟수는 이어야합니다 .

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus

n!

$n!$ 계승입니다 . 계승의 직선 복잡성을 얻는 것은 열린 문제입니다. subexp 시간 에서 을 알 수없는 을 계산하는 방법을 알고 있습니다. 두 개의 다른 과 알고 있으면 얻을 수 있습니다 경우 하위 시간 내에

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

잠시 계산을 기억합니다. 캐치가 있었기 때문에 개선을 얻을 수 없다고 생각하며 세부 사항을 기억하지 못합니다.

마지막 단락은 이상하게 보이며 더 명확해질 수 있습니다. RNG가 전체 분배 공간을 샘플링하지 않는다는 의미에서 "깨진"시나리오에 대해 이야기하고 있습니까? 그러나 병렬 처리가 도움이되지 않습니까? 병렬로 같은 "깨진"RNG가 될 것이기 때문에? 아니면 다른 RNG 실행과 병행한다는 생각입니까? 실제로 팩토링 알고리즘의 병렬 복잡성은 실제로는 완전히 다른 복잡한 주제입니다. 예를 들어 일부는 다른 것보다 더 나은 병렬화가 가능하며 big-O는 정확하게 적용되지 않을 수 있습니다.

— vzn

지난 몇 달 동안, 숫자 필드 체의 버전이 엄격하게 분석되었습니다 : http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

$L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

해당 논문이 아직 검토 중이라고 생각합니다.

업데이트 : 종이가 나왔습니다. Jonathan D. Lee와 Ramarathnam Venkatesan, "난수 필드 체의 엄격한 분석,"Journal of Number Theory 187 (2018), pp. 92-159, doi : 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— 자오
소스

제목, 저자 및 게시 된 위치를 통해 더 많은 정보를 얻을 수있는 더 완벽한 참조를 제공하여 링크 작동이 중지 된 경우에도 답변이 여전히 유용 할 수 있습니까?

— DW

결과는 최근에 발표되었으므로 현재 답변에 표시된대로 검토 중이므로 아직 게시되지 않았다고 생각합니다. 게시 정보를 사용할 수있게되면 나중에 답변을 업데이트하겠습니다.

— djao

그것은 arxiv.org에없는 것 같습니다. 그러나 저자는 Ramarathnam Venkatesan으로 향후 검색이 필요할 경우 도움이 될 수 있습니다.

— 피터 테일러

실제로 두 저자의 작품이다 (JD Lee and R. Venkatesan) : cmi.ac.in/activities/…

— Sary