“중간 트릭”을 더 높은 차원으로 일반화합니까?

실제 값을 취하는 랜덤 알고리즘 경우, "중간 트릭"은 곱하기 의 비용으로 실패 확률을 임계 값 으로 줄이는 간단한 방법입니다. 오버 헤드. 즉, 의 출력이 (적어도) 인 확률 로 "좋은 범위" 하면 독립적 인 사본 이고 출력 의 중앙값을 취하면 Chernoff / Hoeffding 경계에 의해 최소 확률로 의 값이 떨어 집니다.$\mathcal{A}$$\delta > 0$I=[,B]2/31,...,t1,...,tI1-$t=O(\log\frac{1}{\delta})$$\mathcal{A}$$I=[a,b]$$2/3$$\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_t$$a_1,\dots,a_t$$I$$1-\delta$

와 "트릭"을 더 높은 차원으로 일반화 했습니까? 좋은 범위는 이제 볼록한 세트 (또는 공 또는 충분히 좋고 구조화 된 세트)입니까? 즉, 주어진 무작위 알고리즘 의 값을 출력 , 및 "좋은 세트 ' 되도록 모든 에 대해 , 의 대수 비용만으로 성공 확률을 로 높일 수있는 방법은 무엇입니까?R D S⊆ R D P , R {(X,R)∈S}≥2 / 3X1-δ1 /$\mathbb{R}^d$$\mathcal{A}$$\mathbb{R}^d$$S\subseteq \mathbb{R}^d$$\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3$$x$$1-\delta$$1/\delta$

(표현한 다르게 : 고정 arbirary 주어진 보증, 적어도 함께 \ FRAC {2t} {3} 의 A_I가 '에 속하는 s의 S , 절차가 S 에서 값을 출력 합니까? 그렇다면 효율적인 값 이 있습니까?)2 $a_1,\dots, a_t\in \mathbb{R}^d$ aiS$\frac{2t}{3}$$a_i$$S$$S$

그리고 위의 목표를 달성하기 위해 $S$ 에 필요한 최소한의 가정은 무엇 입니까?

이것이 사소한 것으로 판명되면 죄송합니다.이 질문에 대한 참조를 찾을 수 없습니다 ...

당신이 찾고있는 것은 강력한 중심 경향 과 거의 같습니다. 데이터 포인트 클라우드를 단일 포인트로 줄이는 방법은 많은 데이터 포인트가 일부 "지상 진실"에 가깝지만 나머지는 임의로 멀리 떨어져 있다면 출력물도 실제와 가깝습니다. 이러한 방법의 "고 장점"은 허용 할 수있는 임의로 나쁜 이상치의 비율입니다. 차이점은 귀하의 경우 "가까운"을 "볼록 껍질 안에"로 바꾸려는 것입니다.

이를 포착하는 한 가지 방법은 Tukey 깊이 개념입니다. 주어진 점을 포함하는 모든 반 공간에 최소한 데이터 점이 포함 된 경우 점은 Tukey 깊이 (주어진 데이터 점 세트와 관련하여 )를 갖습니다 . 내부에 원하는 볼록한 부분 공간이있는 경우, 내부 에 데이터 포인트가 이상 있는 한 Tukey 깊이 를 가진 점이 그 안에 있습니다. 따라서이 방법의 분석 지점은 달성 할 수 있는 가장 큰 값입니다 .n p n p ( 1 − p ) n $p$$n$$pn$$p$$(1-p)n$$p$

불행히도이 고 장점은 이며 1/2에 가깝지 않으며 Tukey 깊이와 문제 모두에 해당합니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 데이터가 심플 렉스 의 정점 근처에 군집 되어 있으면 그 중 미만 이 특이 치 (그러나 어느 것을 모르는지)이면 단순은 항상 비 이상치의 볼록 껍질 안에 있으므로 선택하기에 안전합니다. 그러나 점의 이상이 특이 치가 될 수있는 경우 선택하기에 안전한 곳은 없습니다. 선택한 심플 렉스의 어느 점이든 가장 가까운 심플 렉스 정점의 모든 점이 될 수 있습니다. 당신은 이상치 않은 사람들의 선체 밖에있을 것입니다.D + 1 1 / ( D + 1 ) 1 / ( D + 1 $1/(d+1)$$d+1$$1/(d+1)$$1/(d+1)$

와 같은 더 나쁜 고 장점을 기꺼이 감내하려면 과 모두에서 다항식의 깊은 점을 찾는 무작위 방법이 있습니다. 내 논문을 참조하십시오, N $O(1/d^2)$$n$$d$

반복 라돈 점, K. Clarkson, D. Eppstein, GL Miller, C. Sturtivant 및 S.-H를 사용한 대략적인 중심점. 텡, 제 9 회 ACM 증상 Comp. 기하 , San Diego, 1993, 91–98, Int. J. Comp. 기하 & Appl. 6 (3) : 357–377, 1996, http://kenclarkson.org/center/p.pdf

이것은 깔끔한 질문이며 이전에 생각했습니다. 우리가 생각 해낸 것은 다음과 같습니다.

출력 x 1 , output , x n ∈ R d 를 얻기 위해 알고리즘을 번 실행 하면 많은 확률의 x i 가 좋은 세트 G에 속한다 는 것을 알 수 있습니다. 당신은 G 가 무엇인지 모릅니다 . 단지 그것이 볼록하다는 것입니다. 좋은 소식은 G 에 대해 더 이상의 정보 를 얻지 못하는 방법이 있다는 것입니다 . 이 포인트 콜 F ( X 1 , ⋯ , X에 N을 ) .$n$$x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}^d$$x_i$$G$$G$$G$$f(x_1, \cdots, x_n)$

정리. 모든 자연수를 들어 과 D , 함수가 존재 F : ( R에 D ) N을 → R (D) 이하가되도록 유지. x 1을 보자 . . . x n ∈ R d 및 G ⊂ R d 가 1을 만족하는 볼록한 세트가되도록하십시오.$n$$d$$f : (\mathbb{R}^d)^n \to \mathbb{R}^d$$x_1 ... x_n \in \mathbb{R}^d$$G \subset \mathbb{R}^d$이어서f를(X1,...,XN)∈G를. 또한,f는nd의시간 다항식으로 계산할 수있습니다. $$\frac{1}{n}\left|\left\{ i \in [n] : x_i \in G \right\}\right| > \frac{d}{d+1}.$$ $f(x_1, ..., x_n) \in G$$f$$n^d$

은 해당주의 , 우리는 설정할 수 F를 평균한다. 따라서 이것은 d > 1 의 중앙값을 일반화하는 방법을 보여줍니다 .$d=1$$f$$d>1$

이 결과를 증명하기 전에 다음과 같이 조이십시오. 이고 x 1 , ⋯ , x d를 표준 기본 요소로하고 x d + 1 = 0으로하십시오 . 점들 중 d 의 임의의 부분 집합은 차원 d - 1 의 아핀 공간 ( G) 에 포함된다 (이 점들에 의해 고유하게 정의 됨). 그러나 그 모든 작은 공간에는 아무런 의미가 없습니다. 따라서 n ⋅ d / ( d + 를 포함 하는 볼록한 G 가 있습니다.$n=d+1$$x_1, \cdots, x_d$$x_{d+1}=0$$d$$G$$d-1$$G$ 점이지만값이 무엇이든 f ( x 1 , ⋯ , x n )을 포함하지 않습니다.$n\cdot d/(d+1)=d$$f(x_1, \cdots, x_n)$

증명. 다음 결과를 사용합니다.

헬리 정리. 보자 . . . K의 m은 볼록 부분 집합 일 수 R에 D . d + 1 K i 의 교점 이 비어 있지 않은 것으로 가정하십시오 . 그리고 모두의 교차 K 내가 S를 비어 있지 않은 것입니다.$K_1 ... K_m$$\mathbb{R}^d$$d+1$ $K_i$$K_i$

Helly의 정리 증명을 보려면 여기를 클릭하십시오.

이제 우리의 정리를 증명하기 위해 :

하자 상부에없는 점의 수에 바인딩 된 G를 . 모든 닫힌 반 공백 K 1을 고려하십시오 . . . K m ⊂ R에 D 적어도 함유 N - K의 그 자신의 경계는 최대 랭크의 포인트들의 세트를 함유하는 점 (이 각각 같은 halfspaces 한정된 개수 K 난 에 의해 정의되는 D + 1 개 의 경계 지점).$k<n/(d+1)$$G$$K_1 ... K_m \subset \mathbb{R}^d$$n-k$$K_i$$d+1$

각각의 보완 가장에 포함 케이 점. 합집합에 의해, 임의의 d + 1 K i 의 교점 은 적어도 n - k ( d + 1 ) > 0 포인트를 포함한다. (halfspaces 볼록 때문에) HELLY 정리함으로써, 모든 교차점에 포인트가 K 난 들 . 우리가 할 수 f는 의 교차점에있는 임의의 점 계산 함수일 K 난 들.$K_i$$k$$d+1$ $K_i$$n-k(d+1)$$K_is$$f$$K_i$

모든 그 유적의 교차점 있음을 보여주는 것입니다 의가에 포함되어 G .$K_i$$G$

일반성을 잃지 않으면 서 는 전체 순위를 가진 포인트의 하위 집합의 볼록 껍질입니다. 즉, G 를 포함하는 점의 볼록 껍질로 G 를 대체 할 수 있습니다. 이것이 전체 순위를 갖지 않는다면, 단순히 우리의 정리를 더 낮은 차원으로 적용 할 수 있습니다.$G$$G$

각 얼굴 halfspace 정의 G는 이들 halfspaces의 교차점이다. 이 반 공간 각각에는 G 가 포함 되므로 n - k 개 이상의 점이 포함됩니다. 이 절반 공간 중 하나의 경계는 G 의면을 포함하므로 최대 순위의 점 세트를 포함합니다. 따라서 이러한 halfspaces 각각은 인 K의 난 . 따라서 모든 교차점 K I 들에 포함되는 G 필요한.$G$$G$$G$$n-k$$G$$K_i$$K_i$$G$

계산할 선형 제약 조건에 대응하는 선형 프로그램 설정 K I 모든 교차점에 포인트들 및 대응 가능한 솔루션 K 난 들. QED$f$$K_i$$K_i$

불행히도,이 결과는 고차원적인 환경에서는 그리 실용적이지 않습니다. 좋은 질문은 우리가 더 효율적으로 계산할 수 있는지 여부입니다 .$f$

열린 문제. 가 n 과 d의 시간 다항식으로 계산 될 수 있다는 추가 결론으로 ​​위의 정리를 증명하십시오 . $f$$n$$d$

따로 : 우리는 또한 효율적인 해결책을 얻기 위해 문제를 바꿀 수 있습니다 : 이 절반 이상이 공 B ( y , ε )에 있는 성질을 가지고 있다면 , 우리는 점 z를 찾을 수 있습니다 점이다 B ( 예 , 3 ε ) 시간 다항식의 N 및 D . 특히 임의의 i에 대해 z = x i 를 설정 하여 점의 절반 이상이 $x_1, \cdots, x_n$$B(y,\varepsilon)$$z$$B(y,3\varepsilon)$$n$$d$$z=x_i$$i$ .$B(z,2\varepsilon)$

다양한 이름으로 알려진 고차원 및 일반 규범에서 일련의 포인트의 중앙값에 대한 개념이 있습니다. 세트의 모든 점까지의 거리의 합을 최소화하는 점입니다. 거리가 조금씩 증가하는 일반적인 중앙값과 유사한 신뢰 증폭 특성을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 이 백서의 정리 3.1에서 자세한 내용을 확인할 수 있습니다. http://arxiv.org/pdf/1308.1334.pdf

이 백서에서 알 수있는 한 가지 좋은 점은 거리를 늘리는 요소가 임의로 높은 (그러나 일정한 <1) 신뢰도에서 증폭 될 수 있으면> 1을 일정하게 유지할 수 있다는 것입니다.

편집 : 슈하여 주제에 대한 또 다른 최근의 용지가와 사바토 http://arxiv.org/pdf/1307.1827v6.pdf 그것은 주로 분석하고 절차를 적용하는 나머지 작은 중간 거리 세트의 점 포인트 중 하나가 사용됩니다. 이 절차는 모든 메트릭과 함께 사용할 수 있지만 근사 계수는 3입니다.