죽은 추측의 사망 기사

나는 어느 시점에서 많은 사람들이 신뢰할 수있는 알고리즘과 복잡성에 대한 추측을 찾고 있지만 나중에 반 증거로 인해 반증되거나 적어도 믿지 않았습니다. 다음은 두 가지 예입니다.

1. 랜덤 오라클 가설 : 거의 모든 관련 세계에 적용되는 복잡성 클래스 사이의 관계는 관련이없는 경우에도 적용됩니다. 이것은 결과에 의해 반증되었고, 가 거의 모든 임의의 oracles 대해 을 보여줌으로써 Random Oracle Hypothesis is False를 참조하십시오 .I P X ≠ P S P A C E X$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. 경계 오차 랜덤 성은 다항식 시간의 거듭 제곱 (즉, )을 올바르게 확장합니다 . 이것은 잠시 동안 믿어졌지만 나중에 복잡한 무작위 화 결과와 회로 복잡성에 대한 연결로 인해 반대의 추측 ( )이 널리 퍼져 있습니다 (아직 열려 있지만).P = B P $P\neq BPP$$P=BPP$

시간 테스트에 실패한 다른 추측은 무엇입니까?

N P ≠ c o N $\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$ . 이 두 가지가 전에, 나는 라는 신념 (즉 "비결정론과 공동- 비결정론 (nondeterminism)은 다르다 "; 이것은 최소한 로그 (logarithmic) 인 공간 복잡도 경계에서는 거짓으로 판명되었다).$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

이전 , 그것은 심지어 가능하다고 생각했다 에 포함되지 않은 :에 Fortnow - Sipser 1988 그들은 케이스가이 추측하고 준 그것이 사실 인 오라클.c o N P I $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

일정 폭 분기 프로그램은 계산에 다항식 길이 이상이 필요합니다 . 1981 년 Furst-Saxe-Sipser와 Ajtai가 AC ⁰ 회로를 계산할 수 없음을 보여준 후 자연스럽게 다음 단계는 다항식의 일정 너비 분기 프로그램을 보여주는 것으로 보입니다. 길이는 셀 수 없었습니다. 1986 년 David Barrington은 그들이 셀 수있을뿐만 아니라 NC ¹ 과 동등 함을 보여 주었다 .

-conjecture : 대한 결정적 알고리즘 그게 3 S U M이 필요 Ω ( N 2 ) 시간.$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

이것은 Allan Grønlund와 Seth Pettie에 의해 2014 년에 증명되지 않았으며, 시간에 실행되는 결정 론적 알고리즘을 제공했다 [1].$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] 3 인조, 퇴보 및 삼각 관계. Allan Grønlund와 Seth Pettie. 컴퓨터 과학 기초 (FOCS) 2014, 621-630 쪽. arXiv : 1404.0799 [cs.DS]

Davis, Matiyasevich, Putnam 및 Robinson이 Hilbert의 10 번째 문제에 대한 해결책은 재귀 적으로 열거 가능한 세트가 정확하게 Diophantine 세트임을 보여줍니다.

(내가 여기에 재생하고 블로그 게시물을 , 돌이켜을 코멘트에 제안, 전에 몇 년에서.)

에서 게오르그 크라이 젤 의의 검토 지수 디오 판 투스 방정식에 대한 의사 결정 문제 마틴 데이비스, 힐러리 퍼트 넘, 줄리아 로빈슨, 앤에 의해. 수학 (2), 74 (3) , (1961), 425–436을 참조하십시오. MR0133227 (24 # A3061) .

이 백서는 모든 재귀 열거 가능 (재) 집합이 지수의 관점에서 실재적으로 정의 될 수 있음을 확립합니다. […]이 결과는 힐버트의 10 번째 문제 (일반, 비 지수) 디오 판틴 방정식과 관련이 있습니다. 저자의 결과에 대한 증거는 매우 우아하지만 숫자 이론이나 재설정 이론에서 우연한 사실을 사용하지 않으므로 현재 결과가 힐버트의 10 번째 문제와 밀접한 관련이 없을 가능성이 높습니다. 또한 모든 (일반적인) 디오 판틴 문제가 고정 된 수의 고정 된 변수 수의 문제에 대해 균일하게 환원 될 수 있다는 것은 전혀 그럴듯하지 않다.

물론 열 번째 문제 와 관련하여 내가 가장 좋아하는 인용문은 Martin Davis의 서문에서 Yuri Matiyasevich의 Hilbert의 열 번째 문제 입니다.

1960 년대에 나는 종종 힐버트의 열 번째 문제에 관해 강의 할 기회를 가졌다. 당시 줄리아 로빈슨 (Julia Robinson)이 공식화 한 조건을 만족하는 단일 디오 판틴 (Diophantine) 방정식의 존재로 해결할 수 없다는 것이 알려졌다. 그러나 그러한 방정식을 만드는 것은 매우 어려워 보였으며, 실제로 일반적인 의견은 존재하지 않을 것이라는 의견이었습니다. 강의에서 나는 그러한 방정식의 존재에 대한 증거 또는 증거로부터 나오는 중요한 결과를 강조 할 것입니다. 필연적으로 질문 기간 동안 문제가 어떻게 될지에 대한 나 자신의 의견을 묻고 대답 할 준비가되었습니다.

힐버트의 프로그램 과 공식적인 이론의 decidability에 대한 자신의 "추측". 그것은 1920 년대 초에 만들어졌으며, 그와 그의 괴팅겐 대학 (University of Gottingen)과 1920 년대와 1930 년대의 다른 동료들에 의해 추구되었습니다.

"이 새로운 수학의 근거-적절하게 증명 이론을 부를 수 있음 – 나는 모든 수학 진술을 구체적으로 표현 가능하고 엄격하게 도출 할 수있는 공식으로 바꾸어 수학의 기초적인 질문을 한 번에 처리한다고 생각합니다. 순수한 수학 영역에 대한 복잡한 질문. "

힐버트의 제안은 고델의 불완전 성 정리에 "충돌"(가장 빨리 [1931]) 온 것으로 잘 알려져있다 .

힐버트 프로그램과 이후 개발에 대한 좋은 개요는 다음을 참조하십시오 : Richard Zach; 그때와 지금의 힐버트 프로그램; 과학 철학 핸드북. 5 권 : 논리의 철학; 2006 년

이야기의 또 다른 측면에 대한 Andrés Caicedo의 답변 을 참조하십시오 : 1970 년에만 해결 된 Hilbert의 10 번째 문제.

$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(*이 Madhu 강의는 "Rudich / Wigderson이 편집 한 전산 복잡성 이론"에 실 렸습니다)

추측은 공식적인 것에서부터 비공식적 인 것까지 다양한 범위에있다. 예를 들어, 수학의 결정 가능성에 대한 힐 버츠의 유명한 추측은 힐 버츠 10 번째 문제와 같은 몇 가지 문제로 공식화되었지만 그것은 또한 전체 분야에 걸친 더 큰 비공식적 인 추측이었다. 제안 된 연구 프로그램으로 볼 수도 있습니다.

"죽은 추측의 전리품"을 찾는 쉬운 방법 중 하나는 "[x] 추측이 내 생애에서 입증 될 수있다"라는 "메타-"진술을 고려하는 것입니다. 수학 문학은 증거의 난이도와 접근성에 대한 기대를 완전히 무시한다는 의미에서 "거짓"으로 판명 된 그러한 진술 / 기대로 가득 차 있습니다. 고전적인 것은 리만 (Riemann) 추측으로 ~ 1 / 2 세기 이상 열린 것입니다. 복잡도 이론이 훨씬 더 과학적인 분야이기 때문에 동일한 이론을 복잡도 이론에 적용하는 것은 쉽지 않습니다. 그러나 여기 중요한 예가 있습니다.

P 대 NP 문제의 초기 발견 (현재 개방 된 40 년 반)은 최초의 조사자들이 문제가 얼마나 힘들거나 엇갈리게 될지 상상할 수 없었던 점에서 일종의 무죄를 나타냈다. 이를보다 구체적으로하기 위해, Sipser에 의해 1980 년대 초에 발명 된 회로 복잡성 분야를 고려하십시오. 이것은 힐 버츠와 비슷한 연구 프로그램으로 P 대 NP를 공격하기 위해 부분적으로 장착되었습니다. 역사적 결과 중 일부는이 개요 / 개론에서 Arvind에 의해 요약됩니다 . 계산 복잡도 칼럼, BEATCS 106 :

1980 년대는 불리언 회로 복잡성 하한의 황금기였습니다. 큰 돌파구가있었습니다. 예를 들어, Clique 함수를 계산하는 모노톤 부울 회로에 대한 Razborov의 지수 크기 하한과 프라임 p에 대해 MOD _p 게이트가있는 일정한 깊이 회로에 대한 Razborov-Smolensky 초 다항식 크기 ​​하한 . 이러한 결과를 통해 연구원들은 큰 하한 문제와 복잡한 계급 분리에 대한 진보를 낙관적으로 만들었습니다. 그러나 지난 20 년 동안이 낙관론은 점차 절망으로 바뀌 었습니다. 우리 는 기하 급수적으로 계산할 수있는 기능을 위해 MOD ₆ 게이트를 사용하여 일정 깊이 회로에 대해 초 다항식 하한을 증명하는 방법을 여전히 모릅니다 .

현장에서 희망을 잃어버린 두 가지 주요 논문이있었습니다. Razborov는 Clique 기능에 대해 훌륭한 / 유명한 결과를 얻었지만 두 개의 반대되는 논문을 썼습니다. 한 논문은 P- 시간 문제인 매칭이 지수 모노톤 회로를 필요로하기 때문에 어떤 의미에서는 하한에 대한 모노톤 회로 접근이 비 모노톤 ( "완전한") 회로와의 일치 성 부족 (아직 완전하지는 않음) 때문에 차단되었다는 것을 보여 주었다 이해).

이것은 Rudich와 공동 저술 한 그의 유명한 논문 인 Natural Proofs 에서 확장 되었는데, 여기에서 모든 이전 회로 하한선 증거는 하드 난수 생성기에서 추측 된 하한선과 충돌한다는 의미에서 약점을 갖는 특정 패턴에 종속됨을 보여줍니다. 암호화.

그래서 어느 정도까지 회로는 "은총에서 떨어졌다". 그것은 여전히 ​​거대한 연구 분야이지만 기술적 결과에 의해 뒷받침되는 기존의 지혜는 실제로 가능한 경우 아직 알려지지 않은 특별한 증거 패턴 / 구조가 영역에서 강한 결과를 얻는 데 필요하다는 것입니다. 사실 마찬가지로 복잡성 이론의 강력한 하한선조차도 전체적으로 극히 어려운 것으로 보였으며, 이는 어린 시절에 널리 예상 / 예측되지는 않았다. 그러나 다른 한편으로는 수학의 큰 (열린) 문제와 함께 난이도 / 중요도 / 중요도에서 순위를 매 깁니다.