최소 오토마타로서 지시 된 멀티 그래프

정규 언어가 주어짐 $L$ 알파벳 $A$최소 결정 론적 오토 마톤은 일정한 외도를 가진 직접 연결된 다중 그래프로 볼 수 있습니다. $|A|$및 표시된 초기 상태 (전이 레이블, 최종 상태 레이블을 잊음). 모든 정점에서 액세스 할 수 있어야하기 때문에 초기 상태를 유지합니다.

대화가 사실입니까? 즉, 지시 된 연결된 멀티 그래프$G$ 모든 정점에 접근 할 수 있도록 일정한 외도 및 초기 상태로 항상 언어가 있습니까? $L$ 그런 $G$ 최소 오토 마톤의 기본 그래프입니다. $L$ ?

예를 들어 $|A|=1$ 그래프는 접두사가 크기 인 "lasso"여야하므로 사실입니다. $i$ 그리고 크기의 루프 $j$의 최소 ​​오토 마톤에 해당합니다. $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$.

동기 부여는 결정 불가능한 간단한 그래프에서 시작하여 싱크를 추가하는 것과 같이 더 많은 작업이 허용되는 솔루션이 더 쉬운 결정 성 감소와 관련된 문제에서 비롯됩니다. 하지만 누군가가이 더 자연스러운 질문을 이미 보았는지 궁금했습니다.

문헌에서 원격으로 연결할 수있는 유일한 것은 Presetd Reset Words를 사용한 Road Coloring의 Complexity 와 같은 논문입니다 . 여기서 목표는 그러한 멀티 그래프를 색칠하여 결과 오토 마톤에 동기화 단어를 갖도록하는 것입니다. 그러나 최소한도는 고려되지 않는 것 같습니다.

업데이트 : Klaus Draeger의 답변 후 후속 질문 : 그래프 가이 모양인지 여부를 결정하는 복잡성은 무엇입니까? 라벨링을 추측하고 autonoton의 최소값을 다 항적으로 확인할 수 있으므로 NP에 있지만 더 말할 수 있습니까?

모든 흡수 노드 $n$ 모든 것을 허용하거나 한 번만 허용하도록 허용해야합니다. $n$입력). 그래프에 둘 이상의 흡수 노드가있는 경우 일부는 레이블링 및 승인 세트 선택에 해당하는 결과를 낳습니다.

보다 일반적으로, 강하게 연결된 그래프 $H$ 유한 한 숫자 만있다 $n(H)$다른 가능한 라벨링 및 수용 서브 세트; 그래프에 이상이있는 경우$n(H)$ 터미널 강력 연결 부품 $H$ (나무의 잎에 붙어 있음), 그것은 최소한의 자동 장치에 해당 할 수 없습니다.

후속 질문과 관련하여 편집 : 까다로운 소리. 내 주장에서 제안한 한 가지 접근법은 다음과 같습니다.

• 분할 $G$SCC로. 이것은 싸다;$O(|V|+|E|)$ Tarjan의 알고리즘을 사용합니다.
• SCC를 동형 클래스로 정렬하십시오. 불행히도 그래프 isomorphism은$P$.
• 각 터미널 동 형사상 클래스에 대해 허용되는 해당 하위 오토마타 수를 결정하고 충분하지 않으면 실패합니다. 예를 들어 알파벳이 다음과 같다고 가정하자.$\{a,b\}$구성 요소에는 두 개의 노드가 있으며 각 노드에는 자체 루프가 있고 다른 노드에는 가장자리가 있습니다. 두 노드 모두를 허용하고 레이블을 지정하여 두 노드 모두$a$ (그리고 다른 가장자리는 $b$)는 단일 흡수 상태와 유사하여 최소 성을 위반하는 오토 마톤을 제공합니다.
• 아래쪽 SCC를 고려하여 DAG의 나머지 SCC를 유사하게 처리하십시오. 나는이 부분의 세부 사항에 약간 모호합니다.

그것은 복잡성이 널리 알려진 하나의 단계이며, 허용되는 오토마타를 결정할 때 배타적으로 유사성이 많은 클래스로의 파티션이 배제 될 수 있기 때문에 지수 시간이 필요할 수 있습니다. 더 잘할 수 있을까요?