트랜스 듀서의 출력 길이가 입력 길이에 의해 제한되는지 여부를 결정할 수 있습니까?

여기에서 고려되는 변환기는 Wikipedia가 유한 상태 변환기를 호출하는 변환기 입니다. 변환기의 동작 , 그 계산의 관계가 기록되어있다, : 워드 위한 출력 인 IFF . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

질문 : 다음 문제를 결정할 수 있습니까?

주어진 : 트랜스 듀서 와 정규 언어 결정 : , a word, 는? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

중요하지 않은 분석 / 해결 가능한 하위 사례, 알려진 문제 및 / 또는 관련 참조로 축소를 찾고 있습니다. (지금은 일반적으로 결정 가능한지 확실하지 않습니다 ...?)

동기 부여 : 이 문제는 분석 / 문의 에서 일반적으로 많은 이론적 문제를 증명 하는 자동화 된 정리 와 특히 연구가 잘된 Collatz 추측에 의해 영감을 얻었습니다 .

— vzn
소스

ps (오래 알려진 바와 같이) FSM 트랜스 듀서는 TM "즉시 설명" 의 단일 반복을 계산하기에 충분히 강력 합니다. 따라서 문제는 LBA 및 CSL 과 관련이있는 것 같습니다 .

— vzn

작성자입력 의 출력 수에 대해 말하고 있습니까? 출력 크기가 아니라면 매우 간단합니다.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

— Michaël Cadilhac

x, F (x)

$x, F(x)$ 는 모두 단어이며"출력"단어의 길이입니다. 몇 가지 아이디어가 있지만 순간적으로 아무것도 볼 수 없으므로 질문입니다. 예를 들어 일부 전이 등에서 입력 / 출력 으로 인해 아마도

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

— 그다지

따라서 트랜스 듀서가 기능적이라고 가정합니다. 표기법으로는 나에게 명확하지 않습니다. :-) 다음은 어떻습니까 : 는 (비결정론 적) 트랜스 듀서이고 은 주어진 정규 언어입니다. 트랜스 듀서 로 를 수정 하여 입력이 인지 여부를 확인 하고 모든 상태에 도달 및 도달 할 수 있는지 확인합니다 . 그런 다음모든 변환기의 간단한 사이클 없다 IFF에 의 입력이 출력보다 작게되는, 임의 SCC에 표시되지 전이에 추가적인 쉬운 성질.

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$

— Michaël Cadilhac

확인. "입력이 출력보다 작습니다"라는 의미는주기를 의미합니까? 이것이 답으로 쓸만한 가치가 있다고 생각하십시오. 엄격한 기준으로이 문제와 관련된 문제를 공식화하는 또 다른 방법이 있었을 것입니다. 아마도 쉬운 방법이 아닐 수도 있습니다. 답이 맞다면 다시 시도해 볼 것입니다. 이 현재 문제는 아마도 더 넓은 문제의 거의 특별한 경우 일 것입니다.

— vzn

다른 기고자가 자신의 답변을 삭제했습니다. 어쩌면 위의 의견을 연장 할 수 있습니다.

하자 가능성이 결정적 변환기, 그리고 정규 언어합니다. 입력이 인지 확인 하는 트랜스 듀서 로 를 수정 합니다 (예 : 상태 세트를 상태 세트 및 의 카티 전 곱으로 변경하고 전이 함수를 수정 하여 상태 의 부분을 수정 함). 의 동작을 유지하면서 올바르게 업데이트됩니다 .) $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

분기 의 서열이다 이되도록 에 수용 간단한 경로 , 각각의 는 의 강하게 연결된 구성 요소이고 , 그 상태는 의 목적지 (및 의 출발지 )를 포함한다. 다음과 같은 경우 분기가 길들입니다 . $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ $\rho_{i+1}$

경로 의 입력 길이가 출력 길이보다 크거나 같습니다. $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
임의의 , 단순 사이클 의 경우 사이클의 입력 길이가 출력 길이보다 크거나 같습니다. $i$ $C_i$

사실 : 어떤 들어 , 의미 모든 가지가 길들인 경우. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

증거는 다소 즉각적입니다. 후자의 속성은 (지점의 수와 간단한 사이클의 수와 같이 결정될 수 있음) 결정 가능하며, 이는 문제의 문제가 결정 가능하다는 것을 보여줍니다.

— 미카엘 카딜 하크
소스

설명에서 은 FSA에 의해 주어진 다고 가정하면 NL (따라서 P)에서도 결정 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

L

$L$

— Emil Jeřábek

나는 당신에게 통지를 보냈습니다 (죄송합니다 게시하기 전에 귀하의 의견을주의 깊게 읽지 않았지만) 아마도 답변을 삭제 한 후에받지 못했을 것입니다 :-) ...하지만 지금-시간 환불로-당신은로 전환해야합니다 (그리고 해결!)이 까다로운 문제는 다음과 같습니다. " 개방형 문제 :

및 계산 가능한 인코딩

이 존재 하여 모든

에 대해

?" :-D :-D

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

— Marzio De Biasi

@ EmilJeřábek 사실, 그것은 상당히 명확하게 co-NL (따라서 NL)입니다.

— Michaël Cadilhac

트윗 담아 가기 나는 실제로 당신의 통지를 보지 못했습니다 ☺ 내가 ☺있을 때 당신의 시간을 환불하기 위해 노력할 것입니다

— Michaël Cadilhac