랜덤 그래프에 집중되지 않은 그래프 매개 변수는 무엇입니까?

많은 중요한 그래프 파라미터가 적어도 임의의 에지 확률 범위에서 랜덤 그래프에 (강한) 농도를 나타내는 것으로 잘 알려져있다. 몇 가지 전형적인 예는 색도, 최대 경사, 최대 독립 세트, 최대 일치, 지배 수, 고정 하위 그래프의 사본 수, 지름, 최대 정도, 선택 번호 (목록 색상 번호), Lovasz 숫자 $\theta$, 나무 너비, 기타

질문 : 임의의 그래프에 집중 되지 않은 예외적 인 그래프 매개 변수는 무엇입니까?

편집하다. 농도의 가능한 정의는 다음과 같습니다.

$X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ p lim n → ∞ Pr ( ⌊ E ( X n ) ⌋ ≤ X n ≤ ⌈ E ( X n ) ⌉ ) = $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ 이는 가능한 가장 짧은 간격입니다 (도는 정수이지만 예상 값이 아닐 수 있음).

참고 : 집중 규칙에서 인공 면제를 구성 할 수 있습니다 . 예를 들어, 그래프에 홀수의 가장자리가 있으면 $X_n=n$ , 그렇지 않으면 0을 지정하십시오. 이것은 분명히 집중되어 있지 않지만 의미있는 매개 변수로 간주하지는 않습니다 .

가장 큰 연결된 구성 요소의 많은 매개 변수는 경우 집중되지 않으며 가 임계 창에 있으면 더 일반적으로 집중됩니다 . 가장 큰 구성 요소의 직경과 크기, 두 번째로 큰 구성 요소의 크기, 구성 요소의 잎 수 등이 그 예입니다.$G(n,p)$$p=1/n$$p$

예를 들어

알 두스, 데이빗 "브라운 여행, 중요한 무작위 그래프 및 곱셈 합체" 확률의 연대기 (1997) : 812-854.

Nachmias, Asaf 및 Yuval Peres. "중요한 랜덤 그래프 : 직경 및 혼합 시간." 확률의 연대기 36, no. 4 (2008) : 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin 및 Christina Goldschmidt. "임의의 랜덤 그래프의 연속 한계." 확률 이론 및 관련 분야 152, no. 3-4 (2012) : 367-406.

집중에 실패하면 일부 계산 ( ) 속성과 많은 속성에 발생할 수 있습니다.$\#\mathsf{P}$

간단한 예는 스패닝 서브 그래프 수 ( )입니다. 하여 랜덤 그래프 변동하기의 에지 개수 정도의 배에 걸친 서브 그래프의 변동하기의 수가 잘 거리에서 인자하면 농도의 정의에 사용하고 있습니다. ± Θ ( N ) 2 Θ ( N ) ( 1 + ε $2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

이것이 분리 된 예가 아님을 보여주기 위해 집중하지 못하는 이유도 해밀턴 사이클의 수에 대한 이유에 대한 논쟁이 있습니다 (전적으로 엄격하지는 않지만 엄격하게 만들 수 있음). 이 숫자의 예상 값은 명확하게 . 각 정점 의 사이 클릭 시퀀스 는 실제로 확률이 해밀턴 사이클. 비슷한 주장으로, 새로운 엣지를 도입함으로써 발생하는이 수치의 예상 변화량은 선형 인자만큼 작은 일 것입니다. 해밀턴 사이클 수가 강하게 집중된 경우 대부분의 에지 플립으로 인해이 값이 예상 값에 가깝게 변경됩니다. 그러나 ( n − 1 ) ! / 2 1 / 2 n ( n − 2 ) ! / 2 n - 1 Θ ( n $(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ 모서리 수의 변동은 강한 집중의 가정과 모순되는 예상 값에 비례하는 해밀턴 사이클 수의 변동을 유발합니다.

집중하지 못하는 다른 그럴듯한 후보에는 채색 횟수 (정점을 독립 세트로 분할), 일치 또는 완벽 일치 또는 스패닝 트리 수가 포함됩니다.