“거의 쉬운”NP- 완전 문제

거의 모든 입력에서 을 올바르게 결정하는 다항식 시간 알고리즘이있는 경우 언어 $L$ 은 P- 밀도-클로즈 라고 가정하겠습니다 . $L$

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

참고 드문 드문 일 필요는 없습니다. 예를 들어, 비트 문자열이있는 경우 이므로 지수 지수로 여전히 소실됩니다. . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

상기 정의에 따라, P 밀도에 가까운 NP 완전 문제 를 (인공적으로) 구성 하는 것은 어렵지 않다. 예를 들어,하자 어떤 일 NP - 완전한 언어, 정의 . 그러면 는 NP 완전성을 유지 하지만 최대 비트 예 인스턴스를 갖습니다 . 따라서 모든 입력에 "아니오"로 응답하는 사소한 알고리즘은 거의 모든 입력에서 를 올바르게 결정합니다 . 비트 입력 의 부분 에서만 오류가 발생합니다 . $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

다른 한편으로, 모든 NP- 완료 문제가 P- 밀도에 가깝다 면 매우 놀랍 습니다. 어떤 의미에서 모든 NP 완료 문제는 거의 쉽다 는 것을 의미합니다 . 이것은 질문에 동기를 부여합니다 .

P NP 라고 가정하면 , P 밀도에 가깝지 않은 자연적인 NP 완료 문제는 무엇입니까? $\neq$

— 안드라스 파라고
소스

이후 Heuristica이 배제되지 않고, P ≠ NP이 문제가 거의 P.에없는 것을 의미하는 것으로 알려져있는조차하지-반드시 자연 문제가되지 않습니다

포스트 서신 문제는 좋은 후보 문제라고 생각합니다. 균일하게 임의의 인스턴스조차도 어렵 기 때문에 평균적인 경우에는 어렵습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

참고 : 자연스럽게 선택하는 명명법은 기존의 명명법과 충돌합니다. Al-P 등급 은 측정치가 1 인 L 언어로 구성됩니다 정의의 희소 버전이 이미 사용되었으며 여러 다른 아이디어와 연결되어 있음을 알고 있습니다 ( P- 닫기 참조) . P- 닫기의 정의를 감안할 때, 개념에 대한 좋은 이름은 P- 밀도-닫기 또는 P- 닫기-완전한 것입니다.

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

한편, " 그래프 채색 "결정 문제는 아마도 그러한 문제의 후보 일 것이다.

$\;$

이것이 올바른 정의라고 확신하지 않습니다. 의 밀도가 사라지면 사소한 언어 를 통해 "거의 얼마나 쉬운가"와 상관없이 "거의"쉽습니다 . 그러나 단순히 인코딩으로 인해 사라 지지 않는 밀도로 알파벳 을 통해 자연 언어를 표현하는 것은 어렵습니다 . 교차 가 모든 문자열이 아닌 유효한 크기의 입력 과 맞지 않아야합니까 (그래서 이것은 약속 문제입니다)? 그렇지 않으면, 주로 질문에 대답해야합니다. 밀도가없는 일부 NP-hard 언어의 부울 인코딩이 없어 집니까?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

나는 복잡도 이론에 일반적으로 받아 들여지는 가설이 있는지를 조사했다. 이것은 거의 모든 입력에서 다항식 시간에 받아 들일 수없는 NP- 완전한 언어 가 있어야 함을 의미한다 (질문에 정의 된 바와 같이).

흥미롭게도, 가장 "표준적인"가설은 그것을 암시하지 않는 것 같습니다. 즉, P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , (내가 뭔가 간과하지 않는 한) 따라 가지 않는 것 같습니다 . NP P / poly, PH 가 축소되지 않습니다. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

반면에, 나는 다소 덜 표준적인 하나의 가설을 발견했는데, 이는 자연 스럽지는 않지만 추구하는 NP- 완전 문제 의 존재를 암시합니다 . 자원 경계 측정 이론 에서 기본 가설은 NP에 0 이없고 NP 표시된다는 것 입니다. 비공식적으로 이것은 E 내의 NP 언어 가 무시할 수있는 부분 집합을 형성하지 않음을 의미합니다 . 자세한 내용은 여기 에서 설문 조사를 참조 하십시오 . 이 이론에서 그들은 많은 것들 중에서 NP 이 P 의 존재를 암시한다는 것을 증명한다 $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ 에 -bi 면역 언어 NP . 또는 그 보수가 P 의 무한 하위 집합을 가지지 않으면 언어 은 P -bi-immune 입니다. 그러한 언어는 우리의 요구 사항을 강력하게 충족시킵니다. $L$ $L$

그러나 자연스러운 문제 를 나타내는 예가 존재하는지 여부는 여전히 불분명합니다 .

— 안드라스 파라고
소스

양성 면역도 많이 ... 당신의 상태보다 더 강한, 그리고 "모든하지만 유한 한 많은"즉 구조적 복잡성 이론에서 "거의 모든"의 일반적인 사용과 관련이

— 여호수아 Grochow

@JoshuaGrochow 나는 동의하지만, 어떤 의미에서 P-bi- 면역은 너무 강한 다루기를 의미하는 것으로 보인다 . 자연적인 NP- 완전 문제 중에는 발생하지 않는 것 같습니다. "거의 거의 모든 곳"의 다루기 힘든 NP- 완전 언어의 존재에 대한 조건을 제공하는 결과가 없다는 것은 놀랍습니다. "거의 거의 모든 곳에서"라는 말은 "아무것도 많지 않은"조건이 "아무것도없는 것"으로 대체됨을 의미합니다. 그것은 실제로 실제로 만나는 것과 더 잘 관련 될 수 있습니다.

— Andras Farago

NP는 p- 측정 가능한 것으로 알려져 있습니까?

@RickyDemer 내가 아는 한 NP가 p- 측정 가능한지 여부는 알려져 있지 않습니다.

— Andras Farago