결론 : 모든 FPT NP- 완전 언어는 고정 매개 변수-동형

Berman–Hartmanis 추측 : 모든 NP 완성 언어는 다항식 시간 동형에 의해 서로 관련 될 수 있다는 의미에서 유사하게 보인다 [1].

"다항식 시간"의보다 세분화 된 버전, 즉 매개 변수화 된 축소를 사용하는 경우에 관심이 있습니다.

매개 변수화 된 문제는 의 부분 집합입니다 . 여기서 Σ 는 유한 알파벳이고 Z ≥ 0 은 음수가 아닌 숫자의 집합입니다. 따라서 매개 변수화 된 문제의 인스턴스는 쌍 ( I , k ) 이며, 여기서 k 는 매개 변수입니다.$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

함수 f , g : Z ≥ 0 → Z ≥ 0 , Φ : Σ ∗ × Z ≥ 0 → Σ ∗ 및 다항식 p ( · )가 있는 경우 파라미터 화 된 문제 은 파라미터 화 된 문제 π 2로 환원 가능한 고정 파라미터입니다 이러한 임의 인스턴스 ( I , K ) 의 π (1) , ( Φ ( I $π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$ 의 인스턴스 π 2 시간의 계산 가능한 F ( K ) · P ( | I | ) 및 ( I , K ) ∈ π 한 경우에만, ( Φ ( I , K ) , g ( K ) ) ∈ π$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$. 두 매개 변수화 된 문제는 고정 매개 변수가 서로 환원 가능한 경우 고정 매개 변수에 해당합니다.

일부 NP 완전 문제는 그것이 가지고 FPT, 예를 들어, 정점 커버 문제 판정 버전 NP-완료되어 알고리즘 [2]. 예를 들어, 시간의 알고리즘을 초래할 수 자간 절단 문제의 "위 보장 버전"으로 감소를 호출하여, 더 나은 알고리즘을 초래할 수 NP-완료 인 FPT 문제를 더 잘 고정 파라미터 감소 찾기 O를 * AGVC (Above Guarantee Vertex Cover) 문제 [3]에 대해 ( 4 k ) , 원래 O * ( 15 k ) 알고리즘 보다 낫다 [4].$O(1.2738^k + kn)$$O^*(4^k)$$O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

그 추측은 사실입니까?

Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), "NP 및 기타 완전한 세트의 동형 및 밀도에 관한"SIAM Journal on Computing 6 (2) : 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj 및 G. Xia, 정점 커버 Theor. Comput의 개선 된 상한. Sci., 411 (2010), 3736-3756 쪽.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk 및 JO Wojtaszczyk, 2011 년 IPEC에서 하한값 이상으로 매개 변수화 된 멀티 웨이 컷.

[4] M. Mahajan 및 V. Raman, 위의 보장 된 값을 매개 변수화 : Maxsat and maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), 335-354 쪽.

Serge Gaspers는 이미 추측이 사소한 이유를 언급했습니다.
그러나 실제로는 다항식 시간 고정 매개 변수 동형을 얻을 수 있습니다 .
이는
평범한 의미의 감소로 사소한 FPT 문제의 모든 순서 쌍에 적용되기 때문에 그다지 사소한 것은 아닙니다 .

$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

의 FPT 알고리즘을 사용해보십시오$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$$\:$$k$$\:$ 따라서 고정 파라메타 조건을 충족시킵니다.