무차별 대입 알고리즘과 최상의 알고리즘 사이의 격차에 기반한 복잡성에 대한 대체 개념?

일반적으로 효율적인 알고리즘에는 다항식 런타임과 지수 적으로 큰 솔루션 공간이 있습니다. 이것은 문제가 두 가지 의미로 쉬워야 함을 의미합니다. 첫째, 다항식 단계로 문제를 해결할 수 있으며 둘째, 런타임은 가능한 솔루션 수에서 다항식이므로 솔루션 공간은 매우 구조화되어야합니다.

그러나 때때로이 두 개념은 다양하며 문제는 첫 번째 의미에서만 쉽다. 예를 들어 근사 알고리즘과 매개 변수화 된 복잡성의 일반적인 기술은 솔루션 공간이 실제로 순진 정의보다 훨씬 작은 크기로 제한 될 수 있음을 증명 한 다음 무차별 대입을 사용하여이 제한된 공간에서 최상의 답을 찾는 것입니다. . 우리가 선험적으로 n ^ 3 개의 가능한 대답 으로 제한 할 수 있지만 여전히 각각의 답을 확인해야한다면 어떤 식 으로든 이러한 문제는 여전히 무차별적인 알고리즘보다 더 나은 알고리즘이 없다는 점에서 "어려운"문제입니다.

반대로, 우리가 두 배의 지수로 가능한 대답에 문제가 있지만 지수 시간 만에 해결할 수 있다면, 그러한 문제는 "쉬운"( "구조적"이 더 좋을 수도 있음)이라고 말하고 싶습니다 런타임)은 솔루션 공간 크기의 로그 일 뿐이므로

솔루션 공간의 크기에 비해 효율적인 알고리즘과 무차별 대입 또는 경도 사이의 간격을 기반으로 경도와 같은 것을 고려하는 논문을 아는 사람이 있습니까?

문제를 공식화 할 때의 한 가지 문제점은 "문제 A의 해결 공간"이라는 문구가 잘 정의되어 있지 않다는 것입니다. 솔루션 공간의 정의 에는 인스턴스와 후보 솔루션이 주어지면 솔루션이 올바른지 여부를 검증 하는 검증 알고리즘이 필요 합니다. 그런 다음 검증 자에 대한 인스턴스의 솔루션 공간은 검증 자 출력을 "정확하게"만드는 후보 솔루션 세트입니다.

예를 들어, 부울 공식이 주어지면 SAT0 문제를 해결하십시오. 모든 0 대입으로 만족됩니까? 이 문제는 다항식 시간에 사소한 것이지만 사용하는 검증기에 따라 솔루션 공간이 크게 다를 수 있습니다. 검증자가 후보 솔루션을 무시하고 인스턴스에서 모두 0이 작동하는지 확인하는 경우 해당 검증 자의 SAT0 인스턴스에 대한 "솔루션 공간"은 간단합니다. 가능한 모든 솔루션입니다. 검증자가 후보 솔루션이 만족스러운 할당인지 확인하면 SAT0 인스턴스의 솔루션 공간은 실제로 SAT 인스턴스의 솔루션 공간과 같이 상당히 복잡 할 수 있습니다.

즉, "무차별 검색을 피하는"문제는 다음과 같은 방식으로 공식화 할 수 있습니다 ( "전체 검색 개선"은 초 다항식 하한을 의미합니다 "). 크기 n의 인스턴스 와 k 비트의 후보 솔루션 에서 시간 에서 실행되는 검증 알고리즘이 제공됩니다 . 질문 * 사이즈의 임의의 인스턴스이며, n은 최대로 (이 검증 WRT) 정확한 해결책이 경우에, 우리는 결정할 수 k 개의 비트 정도 이하에서, O ( 2 전율 t ( N , K ) ) 시간?$t(n,k)$$n$$k$$n$$k$$O(2^k t(n,k))$

참고 는 최대 k 길이의 모든 문자열을 시도하고 검증자를 실행하는 비용입니다. 위의 내용은 주어진 검증 자에 대한 무차별 검색을 개선 할 수 있는지 묻는 것으로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 더 나은 than- 찾는 질문 : "NP-어려운 문제에 대한 정확한 알고리즘"의 영역은 특정 매우 자연스러운 확인 프로그램에 대한 무차별 검색에 개선의 어려움을 연구하는 장기간의 노력으로 볼 수있다 2 N 알고리즘을 SAT는 주어진 후보 솔루션이 주어진 SAT 인스턴스에 만족스러운 할당인지 확인하는 검증 자에 대한 무차별 대입 검색을 항상 개선 할 수 있는지 여부에 대한 질문입니다.$O(2^k t(n,k))$$2^n$

이 논문은 일부 문제에 대한 무차별 대입 검색을 개선 한 흥미로운 결과를 보여줍니다. "다항식 크기의 솔루션 공간"에 대한 무차별 검색 기능을 개선하더라도 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.

일반적인 동적 프로그래밍 문제를 어떻게 처리 하시겠습니까? 여기서 자주 발생하는 것은 최적 솔루션 의 공간 이 다항식으로 제한되어 있지만 솔루션의 공간은 그렇지 않다는 것입니다. 따라서 실행 시간이 솔루션 공간에서 로그이기 때문에 의미 상 "쉬운"것처럼 보이지만 잠재적으로 최적 인 모든 솔루션에 대해 "브 루트 포스"를 실행하기 때문에 의미 상 "하드"입니다.

관점은 솔루션 공간의 끝과 같은 것을 가정하는 것 같습니다.

예를 들어, 일련의 입력 포인트에서 보로 노이 테셀레이션을 생성하는 문제에 대해 생각해보십시오. 다이어그램 가장자리의 각 점이 실수의 튜플이므로 여기에는 무한 크기의 솔루션 공간이 있습니다. 그러나 (평면에 대한) 입력 포인트 수의 O (n log (n))에서 해결책에 도달 할 수 있습니다.

다항식 지연으로 알고리즘을 허용하는 문제가 관련됩니다 . 첫 번째 솔루션과 그 이후의 모든 솔루션은 다항식 시간으로 생성 될 수 있습니다. 존슨 Yannakakis 및 Papdimitriou (예 : 다항식 총 시간으로) 다른 가능한 간격의 맥락에서이 프레임 워크를 토론 에 생성 모든 최대한의 독립적 인 세트 , 정보 처리 편지 (27) , 119-123, 1988.