의존적으로 타이핑 된 람다 미적분학을위한 교회-로저 속성?

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Church-Rosser 속성은 간단하게 입력 된 람다 미적분에서 -reduction을 유지하는 것으로 잘 알려져 있습니다. 이 계산법은 관련된 모든 방정식한다는 의미에서, 일관성이 있음을 의미한다 예를 들어, : -terms이 유도되어 K 나는 그들이 같은 일반적인 양식을 공유하지 않기 때문에. $\beta \eta$ $\lambda$ $\neq$

또한 제품 유형에 대응하는 쌍으로 결과를 확장 할 수있는 것으로 알려져있다.

그러나 다형성 유형 (예 : 건축 미적분학)을 사용하여 종속적으로 유형이 지정된 람다 미적분학 (아마도)의 결과를 추가로 확장 할 수 있는지 궁금합니다.

모든 참조도 훌륭합니다!

감사

type-theory lambda-calculus dependent-type

— 학생 유형
소스

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및 사용하여 유형이 지정된 미적분학에서 CR에 대한 반례를 신속하게 제공하는 것이 유용 할 수 있습니다 . $\beta$ $\eta$

t = λ x : A . (λ y : B . y) x

$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$

그리고 우리는 와

t \to_{β} λ x : A . x

$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$

t \to_{η} λ y : B . y

$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$

이 경우 것이 즉각적 다음 두 가지 결과 용어는, 사실, 해당하지만이의 경우, 될에 대한 이유가 없다 지정되지 않은 용어. $A\equiv B$ $\alpha$

에 입력 된 용어, 그것은 꽤 분명 동일하게 가지고 결과 용어에 대한 잘 입력 할 수 있습니다. 가장 큰 어려움은 다음과 같습니다. $A$ $B$ $t$

의존적으로 유형이 지정된 시스템의 경우 유형 보존 전에 합류를 입증해야합니다!

이는 injectivity 속성이 필요하기 때문입니다 반전을 증명하기 위해 보존 / 대상 감소를 증명하는 데 필요합니다. $\Pi$

Π x : A . B =_{β η} Π x : A^{'} . B^{'} \Leftrightarrow A =_{β η} A^{'} \land B =_{β η} B^{'}

$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$

따라서 -reductions가 합류없이 유형을 보존 한다는 것을 증명할 수는 없지만 합류는 유형이 지정되지 않은 유형의 용어조차 보유하지 않습니다! $\beta\eta$

이 악순환의 밖으로 속보 어려운 기술적 인 트릭, 여기에 요약이 필요하지만, 틀림없이 이해하기 간단한 단지에 관심이되고 중지하는 것입니다 -reductions, 대신에 집중 -expansions : $\eta$ $\eta$ $t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

물론,이 규칙을 가 아닌 적용되지 않는 용어로 제한하여 종료를 희망 할 수도 있지만, 이러한 제한을 통해 축소 동작이 훨씬 더 잘 작동하고 메타 이론도 제대로 작동하지 않는 것 같습니다. 많은 문제. 좋은 참고 문헌은 Neil Ghani, Dependent Type Theory의 Eta-Expansions 인 것 같습니다 . $\lambda$

다른 최근에 많이 사용 된 접근 방식은 Abel, Martin-Löf의 Surmorive Pairs를 갖춘 논리 프레임 워크의 Untyped Algorithmic Equality에서 설명합니다 .

— 코디
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이것에 대해 꽤 알고 있습니다. PTS ( Pure Type Systems) 의 개념은 많은 유형의 -calculi에 대해 Church-Rosser (CR)를 표시하는 데 유용합니다 . 패러 프레싱 (1) : $\lambda$

β 감소 만이있는 PTS는 타이핑 된 항에서 CR을 만족시킨다. 이것은 '의사 용어'에 대한 CR과 함께 주제 축소와 함께 즉시 따릅니다.
βη- 환원을 갖는 PTS의 경우, 의사 용어 세트의 CR은 거짓이다. (2)를 참조하십시오.
βη 감소를 갖는 PTS에서 CR은 고정 된 유형 의 잘 타이핑 된 항을 보유한다 . (1)을 참조하십시오.

PTS는 매우 일반적인 형식이며 시스템 F, Fω, LF 및 건축 미적분을 포함합니다. 마지막 두 개는 종속적으로 입력됩니다. 둘 다 (1, 2) 매우 오래된 논문이며 2015 년에 더 많이 알려져 있다고 생각합니다.

^{1. H. Geuvers, 형식화에 βη 감소를위한 교회 Rosser 속성 -calculi $\lambda$ .}

^{2. RP Nederpelt, 람다 구조화 된 유형을 갖는 유형화 된 람다 미적분학에서의 강력한 정규화 .}

— 마틴 버거
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