다항식 커널

k-FLIP SAT 매개 변수화 된 문제는 다음과 같이 정의됩니다.

입력 : 3-CNF 공식$\varphi$ 와 $n$ 변수와 진실 할당 $\sigma : [n] \to \{0,1\}$
매개 변수 : $k$
질문 : 과제를 변형시킬 수 있습니까?$\sigma$ 만족스러운 임무로 $\sigma'$ ...에 대한 $\varphi$ 최대 의 진실 가치를 뒤집기$k$ 변수?

문제는 FPT에서 명확하게 나타납니다 ( Stefan Szeider : SAT 및 MAX SAT에 대한 k-Flip 로컬 검색의 매개 변수화 된 복잡성. 이산 최적화 8 (1) : 139-145 (2011) )

다항식 커널을 허용합니까? (합리적인 복잡성 가정 하에서)

최근 교차 구성 기술 ( Hans L. Bodlaender, Bart MP Jansen, Stefan Kratsch, "교차에 의한 커널 화 하위 경계"참조 )은이 문제에 유용하지 않은 것 같습니다. 또한 로컬 검색을 통해 주어진 인스턴스에서 NP-hard 문제에 대한 주어진 솔루션을 찾을 수 있는지 묻는 유사한 문제에 대해서도 유용하지 않은 것으로 보입니다 (일부 거리 측정에서 주어진 인스턴스의 이웃으로 검색 제한).

NP가 coNP / poly에 있지 않으면 문제에 다항식 커널이 없습니다. 우리 논문의 교차 합성 기법은 사소한 방식으로 적용됩니다.

클래식 버텍스 커버 문제가 k-FLIP-SAT 문제에 어떻게 교차 교차 구성되어 있는지 보여 드리겠습니다. 인용 된 논문의 결과에 따르면 이것으로 충분합니다. 구체적으로, 입력 값이 Vertex Cover 인스턴스 시퀀스 인 다항식 시간 알고리즘을 구축합니다.$(G_1,k), (G_2, k), \ldots, (G_t, k)$ 모두 같은 가치를 공유합니다 $k$ 그리고 모두 정확히 $n$정점. 출력은$k$-매개 변수 값이있는 FLIP SAT $O(k + \log t)$크로스 컴포지션을 위해 충분히 작습니다. $k$-입력 그래프 중 하나의 크기가 정점 커버 인 경우 FLIP SAT 인스턴스가 yes로 응답합니다. $k$. 하나의 입력 (OR 값을 변경하지 않음)을 복제함으로써 입력 수를 보장 할 수 있습니다.$t$ 2의 거듭 제곱입니다.

구성은 다음과 같이 진행된다. 각 입력 그래프의 그래프에 꼭짓점의 번호를 매기십시오$G_i$ 같이 $v_{i,1}, v_{i,2}, \ldots, v_{i,n}$. FLIP-SAT 인스턴스에서 각 입력 그래프의 각 꼭짓점에 해당하는 변수를 만듭니다. 또한 선택기 변수를 만듭니다.$u_i$ 각 입력 인스턴스 번호 $i \in [t]$. 각 입력 그래프$G_i$수식에 몇 가지 절을 추가합니다. 각 모서리$\{v_{i,x}, v_{i,y}\}$ 그래프 $G_i$, 절을 추가하십시오 $(v_{i,x} \vee v_{i,y} \vee \neg u_i)$ "이 가장자리의 끝점 중 하나가 true로 설정되어 있거나 인스턴스가 $i$ 초기 할당에서 모든 정점 변수는 false로 설정되고 모든 선택기 변수 $u_i$이 절이 모두 만족되도록 false로 설정됩니다. 컴포지션에 OR 동작을 빌드하기 위해 만족스러운 할당이 하나 이상의 선택기를 true로 설정하고 선택한 그래프의 꼭짓점 커버를 형성하도록 수식을 보강합니다.

입력 수에 비해 플립 거리를 작게 유지하면서이 선택을 수행 할 수 있도록 $t$, 우리는 완전한 바이너리 트리의 구조를 $t$ 높이가있는 잎 $\log t$. 잎의 번호를 매기십시오$1$ 에 $t$ 연결 $i$변수가있는-번째 잎 $u_i$ 입력 여부를 제어하는 $i$활성 여부입니다. 이진 트리의 각 내부 노드에 대해 새 변수를 만듭니다. 각 내부 노드에 대해 해당 변수를$x$ 두 자녀의 변수는 $y$ 과 $z$. 절 추가$(\neg x \vee y \vee z)$ 함의를 포착하는 공식에 $(x \rightarrow (y \vee z))$, 그것을 시행 $x$자녀 중 하나가 사실 인 경우에만 사실 일 수 있습니다. 수식을 완성하려면 이진 트리의 루트 노드 변수가 true 여야한다는 단일 항목 절을 추가하십시오. 초기 진리 할당에서 내부 노드에 대한 모든 변수의 값은 false로 설정되며, 트리의 루트 노드에 변수가 true가되도록 요구하는 싱글 톤 절을 제외하고 공식의 모든 절을 충족시킵니다.

이것으로 공식 및 진리 할당에 대한 설명을 완료합니다. 파라미터 설정$k'$ FLIP DISTANCE 문제의 $(k + \log t + 1)$크로스 컴포지션에 적절하게 제한됩니다. 우리가 뒤집을 수 있음을 보여주기 위해 남아 있습니다.$k'$ 일부 입력 그래프에서 수식을 참으로 만드는 변수 $G_i$ 정점 크기를 가짐 $k$.

반대 방향으로, $G_i$ 크기가$k$정점 덮개. 설정$k$ 에 해당하는 변수 $k$덮개의 정점을 뒤집어 true로 설정합니다. 선택기 변수 설정$u_i$ 해당 입력을 인코딩하려면 true $i$ 활성화되고 변수를 뒤집습니다 $\log t$ 잎의 경로에 내부 이진 트리 노드 $i$뿌리에 진실로. 이진 트리의 의미가 모두 만족되고 루트 노드의 값이 true로 설정되어 있는지 확인합니다.$G_{i'}$ ...에 대한 $i' \neq i$ 만족하기 때문에 $u_{i'}$ 그래프에 대한 절은 거짓으로 유지 $G_i$ 모든 에지에 대해 하나 이상의 엔드 포인트를 true로 설정했기 때문에 만족합니다.

정방향의 경우 최대로 뒤집어 수식을 만족시킬 수 있다고 가정하십시오. $k + \log t + 1$변수. 그런 다음 루트 노드의 변수를 true로 바꿔야합니다. 이진 트리의 의미는 잎의 적어도 하나의 선택자 변수가 true로 설정되도록 강제합니다.$u_i$. 이진 트리로 인코딩 된 의미를 만족시키기 위해 경로의 모든 내부 노드는$u_i$ 루트로 설정되어 true로 설정되었습니다. $1 + \log t$뒤집습니다. 이후$u_i$ 그래프에 대한 절을 true로 설정 한 경우 $G_i$ 리터럴에 만족하지 않습니다 $\neg u_i$따라서 각 모서리의 끝점 중 하나가 $G_i$true로 설정되어 있습니다. 적어도 이후$1 + \log t$ 이진 트리의 변수는 최대로 뒤집 혔습니다. $k$이 솔루션에서는 꼭짓점 변수가 true로 바뀝니다. 이것은 크기의 정점 표지를 인코딩합니다.$k$ 에 $G_i$입력 중 하나가 YES 인스턴스임을 증명합니다. 이것으로 증명이 완료됩니다.