방향성 사이클에 대한 이형 동질성의 복잡성

고정 된 방향 그래프 (digraph) 가 주어지면 , COLORING 결정 문제는 입력 digraph 가 와 동질성을 갖는지 묻습니다 . ( 에서 의 동형은 호를 보존하는 에서 의 매핑 입니다 . 즉, 가 의 호 이면 는 )$D$$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

COLORING 문제 의 클래스는 Feder and Vardi에 의해 언급 된 CSP에 대한 이분법 추측과 밀접하게 연관되어 있습니다 ( citeseer에서 액세스 가능 ).$D$

에서 이 2,001 종이 (저자의 페이지에 접근 여기 경우), Feder의는 이분법의 정리를 증명 연신주기 (입니다 지향주기 I 임의로 지향 할 수 있습니다 각 에지가 하나의 아크에 의해 대체되는 방향성주기를 의미) 다시 말해서, 그는 모든 방향 사이클 에 대해 -COLORING이 다항식-시간 분해 가능 또는 NP- 완전 임을 나타냅니다 .$D$$D$$D$

불행히도, Feder의 분류는 많은 경우의 복잡성이 오리엔테이션에 의존하는 SAT의 특정 제한된 변형의 복잡성과 관련되어 있기 때문에 매우 사소하고 명시 적이 지 않습니다. 논문을 보았을 때 나는 내 질문에 대한 답을 결정할 수 없었습니다.

질문 : -COLORING이 NP- 완료 되도록 방향 사이클 의 최소 ​​크기는 얼마입니까?$D$$D$

답은 문헌 어딘가에 나와 있지만 찾을 수 없었습니다.

편집하다:Feder의 분류에 대해 더 자세히 설명하겠습니다. Feder는 모든 NP 완료 지향 사이클이 균형을 이루어야한다는 것을 보여줍니다. 즉, 양방향으로 같은 수의 호를 가져야합니다. 그런 다음 방향에 의해 유발 된 "레벨"을 고려하십시오 (임의의 정점에서 사이클을 시작하기 시작합니다. 호가 오른쪽으로 이동하면 1 씩 증가하고 호가 왼쪽으로 이동하면 1 씩 감소 함). 그런 다음 최대 하나의 "최상위 런"이 있으면 다항식입니다. 이러한 "실행"이 3 회 이상이고주기가 핵심 인 경우 NP가 완료된 것입니다. (의견에서 András의 예에서, 그러한 "실행"은 세 가지가 있지만주기는 핵심이 아닙니다.) 가장 까다로운 경우는 두 개의 "맨 아래 실행"이있는 경우입니다. 일부는 단단하고 일부는 다항식이며, Feder는 이분법을 얻기 위해 특별한 SAT 문제와 관련이 있습니다.

중간 질문으로 : 세 개의 "최상위"런이 있고 핵심 인 가장 작은 지향 사이클은 무엇입니까? 이러한 예는 상기 논의에 의해 NP- 완료 될 것이다.

중간 질문 (상단 3 개의 런을 가진 코어)의 경우 어떻습니까?

일부 표기법 : 나는 단어로 실행을 설명 할 것이다. $\{l,r\}^*$예를 들어 $llrl$ 하위 그래프에 해당 $\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$. 레벨이 올라갑니다$r$ 아크와 감소 $l$ 호, 그리고 최소값이 $0$. 몇 가지 간단한 제약 사항은 다음과 같습니다.

• 다음으로 만 구성된 런은있을 수 없습니다 $l$의 또는 $r$s, 그렇지 않으면 명백한 동질성이 있기 때문에 $D$ 이 실행에 (의 각 노드를 매핑 $D$같은 수준의 사람에게). 이것은 또한 최대 수준이 최소한이어야 함을 의미합니다$3$.
• 최대 레벨이 $3$그러면 모든 상단 하단 (각 하단 하단) 실행의 형태는 $llr(lr)^ill$ (각각 $rrl(rl)^irr)$; 다시 한번 동질성을 찾는 것은 그리 어렵지 않습니다$D$ 최소화하는 실행 $i$.

그러나 최대 수준 $4$ 길이의 해결책이있다 $36$고려 $D$ 주어진 $(rrrlrrlllrll)^3$. 여기에는 필요한 맨 아래 런이 있으며 핵심입니다 (아래 참조). 상기 제한에 의해, 각각의 런은 단일 "후방"에지만을 갖기 때문에 반드시 최소화된다.

이것이 핵심이라는 것을 스스로 확신시키기 위해 먼저 꼭짓점의 이름을 지정합시다 ($v_1,\ldots,v_{36}$). 바닥 (즉, 레벨$0$정점은 $v_1,v_{13},v_{25}$. 모든 동질성$\varphi$ ...에서 $D$ 하위 그래프에 레벨을 유지해야하며, 특히 $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; 명백한 automorphism을 모듈로$v_i\mapsto v_{i+12}$사건을 고려하면 충분합니다 $\varphi(v_1)=v_1$. 의 이웃을 고려$v_1$ 에 $D$ (수준으로 주석이 달린) :

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

로 시작 $\varphi(v_1)=v_1$우리는 $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$. 그러나 만약$\varphi(v_2)=v_{36}$그런 다음 $\varphi(v_3)=v_{35}$에 대한 가치가 없습니다. $\varphi(v_4)$. 우리는 얻는다$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$. 다음$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$, 이 아니라면 $\varphi(v_5)=v_3$ 우리는 얻는다 $\varphi(v_6)=v_4$가능한 값이없는 $\varphi(v_7)$. 그래서$\varphi$ 전체 실행에서 정체성이어야합니다 $v_1\to\ldots\to v_7$나머지 런에 대해 동일한 인수를 반복함으로써 $D$. 특히,$\varphi$ 매핑하지 않습니다 $D$ 적절한 하위 그래프에.