왜 로그 공간을 폴리 로그 공간 대신 ​​효율적인 계산 모델로 생각해야합니까?

이것은 구체적인 답변이있는 질문이 아니라 주관적인 질문 일 수 있습니다.

복잡성 이론에서 우리는 효율적인 계산의 개념을 연구합니다. 같은 클래스가 있습니다 의미 다항식 시간 , 그리고 L은 의미 로그 공간 . 둘 다 일종의 "효율성"으로 간주되며 일부 문제의 어려움을 잘 포착합니다.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

그러나 차이가 와 L은 다음의 다항식 시간 동안 P는 , 실행에 문제의 조합으로 정의된다 O ( N K ) 임의의 시간 상수 (K)는 , 즉,$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

,$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$

로그 공간 은 S P A C E [ log n ] 로 정의됩니다 . 우리의 정의를 모방하는 경우 P를 , 그것은된다$\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

,$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$

여기서 의 클래스라고 polylog 공간 . 내 질문은 :$\mathsf{PolyL}$

폴리 로그 공간 대신 ​​효율적인 계산 개념으로 로그 공간을 사용하는 이유는 무엇입니까?

주요 문제 중 하나는 전체 문제 세트에 관한 것일 수 있습니다. 로그 공간 다 대일 감소에서는 와 L 모두 완전한 문제가 있습니다. 만약 반대로, P에 O 리터 의 Y L은 이러한 감소 하에서 완전히 문제가, 우리는 공간 계층 이론에 모순을 가질 것이다. 그러나 우리가 폴리 로그 축소로 넘어 가면 어떨까요? 그러한 문제를 피할 수 있습니까? 우리가 맞게 최선을 시도하는 경우 일반적으로 P의 오 리터의 y를 L을 효율성의 개념으로 (필요한 경우), 그리고 정의의 일부는 "좋은"클래스가 있어야 모든 좋은 특성을 얻을 수를 수정하는 방법까지 우리는 갈 수 있나요?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

폴리 로그 공간 대신 ​​로그 공간을 사용하는 이론적 및 / 또는 실제적인 이유가 있습니까?

선형 시간을 포함하고 서브 루틴에서 닫힌 가장 작은 클래스는 P입니다. 로그 공간을 포함하고 서브 루틴에서 닫힌 가장 작은 클래스는 여전히 로그 공간입니다. 따라서 P와 L은 시간과 공간에 대해 가장 작은 클래스이며 각각 효율적인 계산을 모델링하는 데 적합하다고 생각합니다.

$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

$\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

다른 모든 대답은 매우 좋다고 생각합니다. 이 문제에 대해 다른 관점을 제시하려고 노력할 것입니다.

나는 P 모델이 실제 세계에서 얼마나 효율적으로 "계산"계산을하는지 잘 모르겠지만, 훌륭한 클로저 속성과 다른 수학적 이유 때문에 클래스를 좋아합니다. 마찬가지로, L은 앞서 언급 한 이유 중 일부 때문에 좋은 클래스입니다.

그러나 당신이 언급 한 것처럼, "효율적인"에 대한 정의를 준 다항식 시간으로 완화하면 PolyL도 효율적입니다. 우리는 복잡성 이론에 대해 논의 할 수 있는데, 우리는 일부 자원에 로그 바운드로 정의 된 클래스가 폴리 로그 자원을 대신 사용할 수있게합니다. 이에 따라 우리는 준 다항식 회로를 대신 사용할 수 있도록 NC, NL 등의 정의를 완화 할 것입니다. 이 작업을 수행하면 NC ₁ , L, NL 및 NC가 모두 PolyL 클래스와 일치합니다. 이런 의미에서 PolyL은 많은 자연 클래스와 일치하기 때문에 강력한 클래스입니다. log-> polylog and polynomial-> quasi-polynomial의 복잡도 이론에 대한 자세한 내용 은 Barrington의 Quasipolynomial 크기 회로 클래스 를 참조하십시오 .

quasi-AC ₀ 과 같은 polyL 또는 유사한 클래스를 연구하는 또 다른 이유 는 ParityP와 PH 사이의 오라클 분리가 PARITY가 AC _0에 포함되어 있지 않다는 것을 암시하지만 그 역의 의미는 사실이 아닙니다. 반면, ParityP와 PH 사이에 오라클이 분리되어있는 경우에만 PARITY가 유사 AC _0에 포함되지 않습니다 . 유사하게, quasi-TC ₀ 및 quasi-AC ₀ 클래스 는 CH와 PH 사이에 오라클이 분리 된 경우에만 다릅니다. 따라서 오라클 결과가 지수에 의해 축소 될 때 PH, ModPH, CH 등과 같은 일반적인 복잡성 클래스는 일반적인 클래스 AC ₀ , ACC ₀ 및 TC의 준 다항식 버전으로 바뀝니다.₀ 입니다. 유사하게, Toda 정리 (PH는 ^PP 에 포함됨)에 사용 된 인수를 사용하여 quasi-AC ₀ 이 depth-3 quasi-TC _0에 포함되어 있음을 나타낼 수 있습니다 . (이 클래스의 일반적인 버전에 대해 동일한 결론이 알려져 있는지 여부는 알 수 없습니다. 일부 논문에서이 문제가 공개 된 문제라고 보았습니다.)