결정 론적 계산의 비결정론 적 가속화

비결정론이 결정 론적 계산을 가속화 할 수 있습니까? 그렇다면 얼마입니까?

비결정론에 의한 결정 론적 계산 속도를 높이면 다음과 같은 형식의 결과를 의미합니다.

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

예를 들어

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

비결정론에 의한 결정 론적 계산의 가장 잘 알려진 가속 결과는 무엇입니까? 무엇에 대해 또는 대신에 ? $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ $\mathsf{ATime}(n)$ $\mathsf{NTime}(n)$

복잡도 클래스는 다중 테이프 Turing 기계를 사용하여 정의되어 이차 시간 단일 테이프 Turing 기계의 잘 알려진 특성을 피한다고 가정하십시오.

— 카베
소스

(에 의해 정리 4.1 과 시간 계층 구조 정리, 당신의 예는 1 테이프 개의 TM에 대해 물을 수 없습니다.)

답변:

당신은 흥미로운 속도 향상을 기 대해서는 안됩니다. 우리는

D T I M E (f (n)) \subseteq N T I M E (f (n)) \subseteq A T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n)),

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{NTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{ATIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)),$

그리고 공간 별 결정 론적 시간의 가장 잘 알려진 시뮬레이션은 여전히 Hopcroft–Paul-Valiant 정리입니다

D T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n) / \log f (n)) .

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)/\log f(n)).$

따라서 비결 정성 또는 교대는 대수 이상으로 속도를 높이는 것으로 알려져 있지 않습니다. (DSPACE 대신 HPV 정리를 ATIME과 함께 사용할 수 있는지 확실하지 않지만 초 선형 속도 향상이 알려져 있지 않은 것 같습니다.)

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

단일 테이프 온라인 튜링 기계의 경우

N T I M E (n) \subseteq D S P A C E (\sqrt{n})

$NTIME(n) \subseteq DSPACE(\sqrt{n})$

— Michael Wehar

2 테이프 튜링 기계의 경우, 위에서 언급 한 바와 같이

가 있습니다.

D T I M E (n) \subseteq D S P A C E (n / \log (n))

$DTIME(n) \subseteq DSPACE(n/\log(n))$

— Michael Wehar

문제는 멀티 테이프 튜링 기계에 관한 것입니다.

— Emil Jeřábek는 Monica를 지원합니다.

관심있는 독자에게 추가 설명을 제공하고 싶었습니다.

— Michael Wehar

Paul-Pippenger-Szemerédi-Trotter에 의해 첫 번째 포함은

특수한 경우에

입니다 .

DTIME (f (n)) ⊊ NTIME (f (n))

$\text{DTIME}(f(n)) \subsetneq \text{NTIME}(f(n))$

f (n) = n

$f(n)=n$

— András Salamon

두 가지 고유 한 개념이 있습니다.

(1) 비결정론 적 머신에 의한 결정 론적 머신의 효율적인 시뮬레이션.

(2) 시뮬레이션을 반복해서 적용하여 얻은 가속 결과.

결정적이지 않은 머신에 의한 결정 론적 머신의 효율적인 시뮬레이션은 모르지만 효율적인 시뮬레이션이 존재하는 경우 사용할 수있는 몇 가지 속도 향상 결과는 알고 있습니다.

비 결정적 추측 만 사용하여 시간 동안 작동하는 비 결정적 Turing 기계에 의해 결정 가능한 언어 의 클래스 를 고려하십시오 . 다시 말해, 감시 길이는 의해 제한됩니다 . $NTIGU(t(n), g(n))$ $t(n)$ $g(n)$ $g(n)$

비 결정적 추측 만 사용하여보다 효율적인 시뮬레이션을 수행 하면 속도를 상당히 높일 수 있다고 생각합니다. 특히 다음을 증명할 수 있다고 생각합니다. $\log(n)$

만약 , 그런 다음 $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$ . $DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

이 흥미로운 것을 발견하면 증거를 작성할 수 있습니다.

Ryan Williams는 "전체 검색의 개선으로 초 다항식 하한을 의미합니다"에서 관련 속도 향상을 소개했습니다.

— 마이클 위 하르
소스

보다시피,

는 다소 큰 가정이며 가설을 거짓으로 증명할 수 있다는 것은 상당히 합리적입니다 . 당신이 할 경우 알려주세요. :)

D T I M E (n \log (n)) \subseteq N T I G U (n, \log (n))

$DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$

— Michael Wehar

@AndrasSalamon :

는 철저한 검색에서 어떻게 따르나요?

\subseteq

$\subseteq$

@RickyDemer 당신 말이 맞아요. 댓글을 삭제했습니다. 나는 비결정론이 계산의 끝에 있다고 암시 적으로 가정했지만 시작 부분에 있다고 가정해야합니다.

— András Salamon

업데이트 : 마침내 언급 한 제안 된 속도 향상 결과를 작성하기 시작했습니다. 내가 찾은 다른 속도 향상 결과와 약간 다릅니다. 토론에 관심이 있으시면 언제든지 회신하거나 이메일을 보내주십시오. 감사합니다! :)

— Michael Wehar

확실히 살펴볼 것입니다. 이것은 흥미로운 접근법입니다.

— András Salamon

다음은 사실이라고하더라도 일반적인 쿼트 비결정론 적 결정 론적 계산 속도가 향상된 이유에 대한 설명입니다.

과 같은 일반적인 계산적 비결정론 적 결정 론적 계산 속도가 유지된다고 가정합니다 . 모순 위해, 가정이 $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$ . 문제에서 2 차 시간 감소가 있습니다. $\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$ 에 . 이것들을 결합 하여 시간 계층 정리와 모순되는 갖게 됩니다. $\mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

따라서 일반적인 계산적 비 결정적 결정 론적 계산 속도 향상은 하한을 의미합니다 . $\mathsf{SAT}$

. $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

따라서 일반적인 이차 결정적인 속도 결정해서 계산을 입증하는 거의 차 하위 경계로서 증명 열심히 적어도하다 . $\mathsf{SAT}$

마찬가지로, 올바르게 작동하는 함수 : $f(n)$

. $\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$

대신 경우 ( 우리가 어려운 문제 선택 다음이 줄 것이다 선형 시간 절감에 따라 이 문제에 대한 하한. 우리는 수정하면 기계 테이프의 수를 로 설정 하면 계수 가없는 Fürer의 시간 계층 정리 를 사용할 수 있습니다 .) $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NTime}(n)$ $f(n)/\lg n$ $k\geq 2$ $\lg n$

— 카베
소스

우리는 SAT가 DTime (n)에 없다는 것을 알지 못하기 때문에

속도 향상을 알지 못합니다 .

ω (n \lg n)^{2}

$\omega(n \lg ⁡n)^2$

— Kaveh