연결된 모든 하위 그래프 계산의 복잡성

G를 연결된 그래프라고하자.

G가 다음 유형 인 경우 연결된 모든 하위 그래프 를 계산하는 것이 얼마나 복잡 합니까?

• G는 일반적입니다.
• G는 평면이다.
• G는 이분입니다.

나는 구조에 관심이 없거나 ..., 연결된 모든 하위 그래프를 계산해야합니다! 또한 G에서 정확히 k 개의 노드 로 연결된 모든 하위 그래프 를 계산하는 복잡성에 관심이 있습니다 .

논문과 책에 대한 포인터도 환영합니다!

웨일스 어는 문제가 가장 제한된 경우에도 문제 # P- 완전 (평면 이분 그래프의 연결된 하위 그래프 수 계산)을 나타냅니다. 305 페이지 하단의 Dominics Welsh (1997), "대략 계산", 조합 조사 , Bailey, RA, ed., Cambridge University Press, 287–324 쪽을 참조하십시오.

그러나 문맥 상으로는 그가 연결된 스팬 하위 그래프를 의미하는지 궁금합니다. 연결 스패닝 서브 그래프, 스패닝 할 필요가없는 연결된 서브 그래프 또는 연결된 유도 서브 그래프 중 원하는 버전의 문제가 궁금합니다.

이것은 다윗의 대답에 대한 응답입니다. 그 책을 보지 않고서도 문제는 연결된 스패닝 서브 그래프를 세는 것 같습니다. 이는 Tutte 다항식의 x = y = 2 점이므로 저자는 그것에 관심이있었습니다. 그러나 실제로 나는이 세 가지 문제가 연결된 스패닝 하위 그래프 문제를 세는 것에서 상당히 쉽게 줄어 듭니다. 근사치에 대한 문제가 여전히 열려 있다고 생각하지만 정확한 계산이나 근사치에 대해 다음 축소가 작동해야합니다.

연결된 스패닝 서브 그래프 계산은 연결된 서브 그래프 계산으로 감소 (스케치) : 스패닝 서브 그래프를 계산하려는 그래프 G를 가져옵니다. 각 정점에 를 연결합니다 . 가 충분히 크게 선택된 경우 , 결과 그래프의 일반적인 연결된 하위 그래프는 N에서 1까지의 G에서 연결된 스패닝 하위 그래프에 해당합니다. 여기서 N은 계산하기 쉽습니다.$K_A$$A$

연결된 스패닝 서브 그래프를 계산하면 연결된 유도 서브 그래프를 계산하는 것으로 줄어 듭니다 (스케치). 각 모서리를 두 개로 나누면 이제 | V | + | E | 정점. 에있는 각 원래 정점에 를 첨부합니다. 를 충분히 크게 선택하면 결과 그래프의 일반적인 연결된 유도 서브 그래프는 N에서 계산이 쉬운 G의 연결된 스패닝 서브 그래프에 N 대 1에 해당합니다.$K_A$$A$

질문에 대한 또 다른 해석은 다음과 같습니다. 레이블이없는 연결된 하위 그래프를 계산하는 것은 어떻습니까? 이다 심지어 나무 하드 : 나무의 레이블이없는 하위 트리를 계산 LA 골드버그와 M. Jerrum는 # P-완료, 계산 수학, 3 (2000) 117-124의 LMS 저널이다.$\#P$