임의의 오라클이 어떤 TFNP 문제가 평균적으로 강하게 변경 될 수 있습니까?

암호화에 대해이 질문 을
본 후 여러 번에 다음 질문에 대해 생각하고 있습니다.

질문

허락하다 $R$ 수 TFNP의 관계. 임의의 오라클이 P / Poly
가 중단 되도록 도울 수 $R$ 무시할 수없는 확률로? 보다 공식적으로, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

않습니다

모든 P / 폴리 알고리즘 에 대해 는 무시할 수 있습니다 $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

반드시 암시

대한 거의 모든 O racles 알고리즘 오라클 모든 P / 폴리위한 , 무시할 $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

대체 제제

관련 오라클 세트는 (따라서 측정 가능)이므로, 모순을 취하고 Kolmogorov의 0 대 1 법칙을 적용함으로써 다음 공식은 원래의 법칙 과 동일합니다. $G_{\delta\sigma}$

않습니다

대한 거의 모든 O racles , 거기에 존재하는 P / 폴리 오라클 알고리즘 되도록는 아니다 무시할 $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

반드시 암시

은 P가 존재 / 폴리 알고리즘 되도록 무시할 수없는 $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

유니폼 케이스

유니폼 버전에 대한 증거는 다음과 같습니다 .

그래서 널 [최적] [8]의 가산 가산들만 countably 일대 PPT의 오라클 알고리즘들이 존재하는 PPT 알고리즘있다 되도록 비위한 널 점쟁이 세트 , 는 무시할 수 없습니다. 를 그러한 오라클 알고리즘 이라고하자 . $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

마찬가지로, 널이 아닌 oracles 경우 는 적어도 이상 무한대가 되도록 를 양의 정수로 설정하십시오 . 여기서 은 입력 길이입니다. Borel-Cantelli 와 반대로 는 무한합니다. $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

에 의해 비교 시험 무한히 종종 입니다. $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

를 [Oracle을 시뮬레이션] [12]하고 시뮬레이션 된 Oracle로 를 실행하는 PPT 알고리즘 이라고합시다 . $S$ $B$

수정 및하자 점쟁이들의 집합 되도록 . $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

가 null이 아닌 경우 . $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

이후 무한히 종종 무시할 수 없다. $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

따라서 균일 한 버전이 유지됩니다. 증거는 PPT 오라클 알고리즘이
많을 뿐이 라는 사실을 비판적으로 사용합니다 . 이 아이디어 는 연속체가 많은 P / 폴리 오라클 알고리즘이 있기 때문에 비 균일 한 경우에는 효과가 없습니다 .

— 커뮤니티
소스

나는 이것이 실제로 오라클에 대한 질문이라고 생각하지 않습니다. 이후 독립적 인 , 당신은뿐만 아니라 단지 제공 할 수 있습니다 임의의 문자열에 액세스 할 수 있습니다. 문제는 다음과 같습니다. 임의성이 다중 크기 회로의 전력을 증가 시키는가? 경우 이후 그 대답은 "아니오"입니다 아니라 평균 인수 한 후 임의의 문자열에 대한 액세스 권한을 부여 않은 것이있는 임의의 문자열의 특정 설정이 존재, 잘 할 수 및 우리 수도뿐만 아니라 단지 그 문자열을 회로에 연결하십시오.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Adam Smith

@AdamSmith :`` 은 과 독립적이므로 임의의 문자열에 액세스 권한을 부여 할 수도 있습니다 "는 직관이지만 증명으로 바꾸는 방법은 없습니다.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@Adam, 중요한 또 다른 정량자가 있습니다. 부정을 보는 것이 더 쉽다고 생각합니다. 거의 모든 오라클에 대해 오라클을 사용하여 검색 문제를 해결할 수있는 불균일 한 적이있을 수 있습니까?

— Kaveh

내가 참조. 나는 다른 질문에 대답하고 있었다. 혼란을 드려 죄송합니다.

— Adam Smith

@domotorp : 지금 수정해야합니다. (대한 나의 추측 왜 그런 일이 일어은입니다 번호가 링크가 아닌 인라인 링크 사용.)

$\hspace{1.05 in}$

내 제목에는 아니요, 질문 본문에는 예입니다. 사실 이것은 적의 코드를 사용
하지 않는 모든 다항식 게임에 즉시 일반화 됩니다.

참고 내가 사용 될 것이라고 하기보다는, 대적에 대한 , 그래서와 일치하도록 정리 2 의 표기. $C$ $A$

거의 모든 oracles 에 대해 와 같은 P / poly oracle-algorithm 가 있다고 가정 합니다. 는 무시할 수 없습니다. $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

거의 모든 점쟁이 ,되도록 양의 정수 (D)가 존재하는 대부분의 D 크기 회로의 시퀀스가 존재를 + N ^거라고 되도록 는 종종 . $\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

계산 가능한 가산성에 의해 양의 정수 d가 존재하여 널이 아닌 oracles 세트에 대해 와 같은 최대 d + n ^d 크기의 회로가 존재합니다. 는 종종 보다 큽니다. 입니다. $\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

j를 그러한 광고로하고 z를 (필수적으로 효율적이지 않은) oracle-algorithm으로하자.
n은 입력으로 n 을 취하고 최대 j + n 크기의 사전 순으로 최소 oracle-circuit를 출력한다. 이 극대화 . Borel-Cantelli 의 반대에 따르면 , $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ 무한히 많은 n.

이러한 n의 경우

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

.

하자 중 하나는 2 개 입력, 소요 오라클 알고리즘 수 , 다음과 같이 수행 : $A$ $n$

임의의 n 비트 문자열 선택하십시오 . 시도 [오라클 회로와 같은 다른 입력을 분석하고 상기 n 비트 열을 해당 오라클 회로를 실행]. 그 성공하고 오라클 회로의 출력의 경우 만족 R (x, y)는 다음 출력 (1), 다른 출력을 0 (주의 사항은 이고 하지 단지 상대.) 무한히 많은 N 들어 . p를 정리 2 에서와 같이 설정하고 $x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$
$\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ .

하여 정리 2 , 오라클 기능이 존재 되도록 함께 그 원리와 마찬가지로, 만약그때 $\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ .

n의 경우: $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

특히, 최대 j + n 크기 의 oracle-circuit 가 있습니다. 및 길이는 f에서 최대 f 입니다. 그 입력 presampling와 출력의 확률은 이상이고 . 최대 j + n 크기의 Oracle 회로는 poly (n) 비트로 표현 될 수 있으므로 p는 다항식으로 n에 제한됩니다. 즉, f도 위에 제한됩니다. n의 다항식에 의해. $\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

건설함으로써 수단 것이 가장 J + n은 크기 오라클 회로있다 및 그 presampling 실행할 때 다항식 길이 할당 지견 회로 '확률 해가 입니다. 이러한 회로는 j + n보다 더 오래 쿼리를 만들 수 없기 때문에 $A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ 사전 샘플링 된 입력보다 더 긴 비트는 무시 될 수 있으므로 이러한 프리 샘플링은 랜덤 오라클 및 폴리 (n) 하드 코딩 된 비트로 효율적이고 완벽하게 시뮬레이션 될 수 있습니다. 즉, 표준 랜덤 오라클의 경우 솔루션을 찾을 수있는 회로의 확률이 )보다 큰 다항 크기의 oracle 회로가 있음을 의미합니다. . 이러한 임의의 오라클은 결과적으로 일반적인 임의의 비트로 효율적으로 완벽하게 시뮬레이션 될 수 있으므로 솔루션을 찾을 확률 이보다 큰 다항식 확률이 아닌 비 오라클 회로가 있습니다. $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ 입니다. 결과적으로, 광학 랜덤 화를 하드 코딩함으로써, 다항식 크기 결정 론적 (비-오라클) 회로가 있으며, x를 선택하여 솔루션을 찾을 확률은 보다 . 이 답변의 앞부분에서 볼 수 있듯이, $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ $\;\;\;$ 다항식이 있습니다.

n 번째 엔트리가 사전 식으로 최소 인
[다항식으로 제한되는 크기의 회로 C] 시퀀스 $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

는 솔루션을 찾을 확률이 (x를 선택했을 때) 무시할 수없는 P / 폴리 알고리즘입니다.

따라서 내 질문의 몸에 미치는 영향은 항상 유지됩니다.

다른 다항식 길이 게임에 동일한 의미를 얻으려면
이 증명의 를 변경 하여 입력 오라클 회로가 게임을하도록하십시오. $A$