포인트 를 포함하는 가장 작은 축 정렬 상자

입력 : 세트의 에서 점 및 정수 . $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

출력 적어도 포함한 최소 부피 축 정렬 된 경계 박스 이들 포인트. $k$ $n$

이 문제에 대해 알려진 알고리즘이 있는지 궁금합니다. 내가 생각할 수있는 최선의 방법은 다음과 같이 느슨하게 시간 이었다 . 이러한 각 가능성에 대해 슬라이딩 윈도우 알고리즘을 사용하여 시간에 해당 차원 버전의 문제를 해결할 수 있습니다 . $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— GMB
소스

우리는 크기의 테이블 계산하지 수

점의 수를

와

? const 수의 연산으로 포인트 수와 부피를 계산할 수 있으며 크기가

테이블을 사용하여 동적 프로그래밍을 사용할 수 있으며

알고리즘 을 얻을 수 있어야 합니다.

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— Kaveh

확인. 이 경우

이면 실제로

보다 나은 결과를 기대할 수 없습니다 .

서로 다른 상자 가

있기 때문에, k의 난수에 대한 인수의 평균을 계산하면 정확히 k 개의 점을 포함하는

상자가 있습니다. 검색 공간을 작게 만들기 위해 볼륨을 사용할 수 없다면 어떻게 든 낙관적 인 것처럼 보입니다 ...

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

— Sariel Har-Peled

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

$n$ $O(n^3)$

$1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ 타임스. 높은 확률로 시도한 상자 중 하나가 원하는 상자입니다.

$O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

왜 이것이 작동하는지 확인하려면 최적의 상자를 고려하십시오. 경계에 6 포인트의 P가 있습니다. 무작위 표본이이 6 개의 점을 선택하고 상자 안의 점이 이상이 아닐 확률 $\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

$\Theta(n^3)$

$O(n^3 \log^2 n)$

— 사리 엘 하 필링
소스

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$