유한 오토마타에 대해 잘 정의 된 나눗셈 연산이 있습니까?

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배경:

두 개의 결정 론적 유한 오토마타 A와 B가 주어지면 C의 상태를 A의 상태와 B의 상태의 데카르트 곱으로함으로써 제품 C를 형성합니다. 그런 다음 전환, 초기 상태 및 최종 상태를 선택합니다. C는 A와 B 언어의 교차점입니다.

질문 :

(1) C를 B로 "분할"하여 A를 찾을 수 있습니까? 동형까지도 독특합니까? 우리는 여기와 아래의 언어가 아닌 상태 다이어그램에 관심이 있습니다. 따라서 상태 다이어그램을 압축하여 상태 수를 줄일 수 없습니다.

(2) A가 고유 한 경우이를 찾는 효율적인 알고리즘이 있습니까?

(3) 모든 결정 론적 유한 오토 마톤이 "프라임"에 고유 한 요소를 가지고 있습니까? 여기서 소수는 팩토링 할 수없는 오토 마톤, 즉 2 개의 작은 오토마타의 곱으로 작성된 오토 마톤을 의미합니다.

@MichaelWehar와 협력

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
소스

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고전적인 분해는 Krohn-Rhodes 이론입니다.

2

Brzozowski 유도체를 고려하십시오. en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

2

@halfTrucker Krohn-Rhodes 이론은 화환 제품을 다룹니다. OP는 직교 제품에 대해 묻고 있습니다.

— scaaahu

2

감사합니다 @halfTrucker, 이것은 정말 재미 있습니다! scaaahu가 말했듯이 카티 전 곱을 찾고 있지만 참조는 여전히 좋습니다.

— Whosyourjay

8

오토마타의 구성 성을 연구하는 이 MFCS 2013 논문을 살펴보십시오 . 아마도 도움이 될 것입니다.

— 숄
소스

2

링크의 경우 +1 기사의 토론에서 인용 하면 일반적인 사례는 여전히 열려 있지만 기사는 순열 자동 마타 사례 만 탐색하는 것으로 보입니다. 일반적인 경우에 대한 최근 개발이 있습니까? 직교 제품의 의미에서 의미합니까? (크론-로 데스 이론은 화환 제품을 다루고 있습니다) 감사합니다.

— scaaahu 2016

3

나는 최근의 발전에 대해 모른다. 나는이 논문에 대한 직접적인 후속 조치가 없었다고 말할 수있다. 그러나 이것은 문제가 실제로 쉽지 않다는 표시로 작용할 수 있습니다.

— Shaull

4

제품 오토 마톤의 하나의 "인자"를 복구 할 수있는 확실한 방법을 제공합니다. 경우 및 이고 제품 오토 마톤 우리 정의 다음 경우 $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$ 즉

잊어 버리는 것

A_{2}

$\mathcal A_2$ 또는 두 번째 구성 요소에 투사, 우리는이

, 또한 우리가 알고 싶다면

어떤 선택

제품 오토 마톤과 계산

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

, 따라서 우리는의 천이 복구 할

.

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

따라서 오토 마톤이 직교 (또는 외부) 제품 오토 마톤임을 알면 쉽게 요소를 복구 할 수 있습니다.

그러나 나는 이것이 당신이 다른 질문에 대해 염두에두고 있지 않은 것 같아요. 두 가지 질문이 여기에서 발생합니다 (다음은 자동 이성질체에 의해 상태 그래프로서 동형임을 의미합니다. 즉 언어가 그다지 관심이 없다고 말했듯이 초기 또는 최종 상태와 관련이 없음).

A_{1} \times \dots \times A_{k} ≅ B_{1} \times \dots \times B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$ 를 의미합니다.

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

$\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

그 경우에 필요한 조건을 도출하는 것은 쉽지만 일부 오토 마톤이 다른 오토 마톤의 요인이되기에 충분한 기준을 찾지 못했습니다.

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$

π

$\pi$

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

A_{2}

$\mathcal A_2$

$\mathcal A$ $\mathcal B$ $\mathcal B$ $\mathcal A$

$\mathcal B$ $\mathcal A$

$M$ $N$ $M$ $N$ . 그리고이 개념은 널리 사용되며 DEA와 유한 일족 사이의 관계를 고려할 때 automata의 분해에 대한 질문과 밀접한 관련이 있습니다. 자세한 내용을 보려면 다음 리소스를 확인하십시오.

H. 스트라 우빙, 웨일 유한 한 오토마타 소개와 논리와의 연결,

많은 정보가 담긴 코스 웹 사이트 .

비고 : " quotienting " 이라는 또 다른 개념이 있습니다. wikipedia : quotient automaton을 참조하십시오 . 그러나 이는 상태 축소에 대한 규칙 일 뿐이며 학습 / 언어 추론 알고리즘 또는 상태 최소화에 사용됩니다.

— 스테판
소스