제한된 직경의 가장 큰 점 찾기

주어진 점에서 에서 R의 (D) 및 거리 (L)는 그들없이 두개의 유클리드 거리를 초과하는 이들 점의 가장 큰 서브 세트 찾을 패 .$p_1,\ldots,p_n$$\mathbb{R}^{d}$$l$$l$

이 문제의 복잡성은 무엇입니까?

두 점의 거리가 최대 일 때마다 모서리가있는 점에 대한 그래프 에서 문제는 최대 경사를 찾는 것과 같습니다. 아니 모든 그래프 (일례는 스타 이런 식으로 획득 될 수 있기 때문에 반대가 유지되지 않을 수 K (1) , (7) 에 대한 D = 2 ). 따라서 관련 질문은이 클래스의 그래프에 대해 알려진 것이 무엇입니까?$l$$K_{1,7}$$d=2$

제프 에릭슨 (Jeff Erickson)은 " 가장 가까운 이웃을 반복하고 최소한의 폴리 토프를 찾는다 "라는 디스크 에이 문제의 2 차원 버전에 대한 시간 알고리즘이 있습니다 . Comp. 기하 11 : 321-350, 1994. 실제로이 논문은 주로 이중 문제를보고있다. 그러나 서브 루틴으로 설명하는 문제를 사용합니다. 적어도 우리가 그것을 썼을 때, 우리는 더 큰 차원에 대한 하위 지수를 알지 못했습니다 (집합에 k 포인트 만 있으면 지수 부분은 n이 아닌 k에 의존 할 수 있습니다)$O(n^3\log n)$$k$$k$$n$ 같은 논문에서 기술 사용).

근사는 대부분에서 직경이 가장 작은 부분 집합에 관심이 있다면 아주 쉽게 . 그리드를 사용하는 선형 시간 알고리즘은 이제 "표준"입니다. 상수는 아마 같은 것 (2) O ( 1 / ε D ) .$(1+\epsilon)l$$2^{O(1/\epsilon^d)}$

k 포인트를 포함하는 가장 작은 볼을 찾는 작업이 있지만 직경 문제는 본질적으로 더 어렵습니다. 이유를 알아 보려면 3d 직경을 계산하기위한 Clarkson-Shor 용지가 좋은 출발점입니다.

$O(1/\epsilon^2)$