초 선형 회로 바운드가 알려진 "가장 작은"복잡성 클래스는 무엇입니까?

반드시 많은 표준 참조에 포함되어야하는 질문을하는 것에 대한 사과. 제목의 질문에 대해 궁금합니다. 특히 부울 회로가 있고 깊이에 제한이 없습니다. 나는 "가장 작은"따옴표로 묶어 서로를 포함하는 것으로 알려진 여러 개의 다른 클래스가있을 가능성을 허용하기 위해 초 선형 경계가 알려져 있습니다.

I 알려진 작은 이러한 클래스가 있다고 생각 (CAI, 2001), P P (Vinodchandran, 2005) 및 ( M ∩ C O M ) / 1 (Santhanam, 2007). 이들 모두는 각각의 상수 k 에 대해 실제로 S I Z E ( n k ) 에 없는 것으로 알려져있다 .$S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

내가 아는 가장 강력한 결과는 모든 k에 대해 Ω ( n k ) 크기의 회로를 필요로하는 문제가 있다는 것입니다 .$S_2^P$$\Omega(n^k)$

$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

결과는 Cai 로 인한 Karp-Lipton 정리의 가장 강력한 버전에서 나옵니다 .

$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

$NP$$5n$

참조 아 로라와 바락의 책, 297 페이지 리처드 J. 립톤은 한 게시물 에 자신의 블로그 보기, 이러한 결과에 대한을 이 하나 .

$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

io- 회로로 계산할 수없는 결정 문제 중 하나 는 가있는 회로의 진리표가 아닌 가장 작은 숫자 (2 진 숫자를 사용하여 쿼리 됨)입니다. 게이트. NP가 P / poly에있는 경우, 문제는 다음으로 구성되는 반박 할 수없는 명백한 증거를 갖는다 : (1) (2) 주어진 회로 는 이 충분히 작은 회로를 가지고 있음을 보여준다 . (3) ( 바운드에만 사용) (2) 번만 상대의 회로를 실행할 수있는 검증기 (실행 당 1 비트 가져 오기 ).$O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

별도의 메모에서 모든 에 대해 (MA ∩ coMA) / 1에는 회로 가없는 결정 문제가 있습니다. '/ 1'은 기계가 입력 크기에만 의존하는 1 비트의 조언을 받는다는 것을 의미합니다. 또한 Merlin이 전송하는 문자열은 입력 크기 (이 제한을 사용하면 MA는 의 하위 집합 임 )와 조언 복잡도 에만 의존하도록 선택할 수 있습니다 . 증명 (Santhanam 2007)은 올바르게 작동하는 특정 PSPACE- 완전 문제를 사용하고 사이의 무한 회로 크기를 얻기 위해 입력을 채움으로써 IP = PSPACE 및 PSPACE⊂P / poly ⇒ PSPACE = MA를 일반화합니다 및 , 이러한 충분한 예를 감지하기위한 조언 사용$k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$그리고 이러한 에 대해 Merlin이 그러한 회로를 생성하게하여 패딩 된 문제를 해결합니다.$n$