P / 폴리 대 균일 복잡성 클래스

NEXP가 P / poly에 포함되어 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다. 실제로 NEXP가 P / poly에 있지 않다는 것을 증명하면 일부 응용 프로그램이 임의 화 해제에 적용됩니다.

1. C가 P / 폴리에 포함되어 있지 않다는 것을 증명할 수있는 가장 작은 클래스 C는 무엇입니까?

2. co-NEXP가 P / poly에 포함되어 있지 않다는 것을 보여주는 것이 NEXP 대 P / poly의 경우와 같이 다른 복잡한 이론적 결과가 있습니까?

참고 : 는 각 고정 상수 에 대해 에 포함되지 않는 것으로 알려져 있습니다 (이는 1 비트 조언이있는 MA에도 표시됨). 그러나이 질문에서는 고정 대한 결과에 관심이 없습니다 . 이 클래스가 매우 클지라도 P / Poly와 다른 클래스에 관심이 있습니다.$SP_2$$Size[n^k]$$k$$k$

$\let\mr\mathrm$ 특정 클래스한다는 문헌에서 몇 가지 결과가 있습니다 만족 어떤을위한 , 일반적으로는 패드 간단 그들이 어떤 거의 것을 보여주기 위해이 superpolynomially의 확장 버전 아닌 .$C$$C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$$C$$\mr{P/poly}$

나 그 생각한 A는 superpolynomial 바인딩 이 시간 작도 한 경우 . 예를 들어, 은 초 다항식입니다. 실제로, 유익한 운동은 이 제한되지 않은 모노톤 계산 함수 라면 과 같은 초 다항식 경계 가 있음을 보여줍니다 .$f\colon\mathbb N\to\mathbb N$$f(n)=n^{\omega(1)}$$n^{\log\log\log\log n}$$g(n)$$f$$f(n)\le n^{g(n)}$

먼저 직접 대각선은 모든 대해 임을 나타냅니다 . 같은 주장은 다음과 같습니다.$\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• 경우 임의 superpolynomial 결합하고있다 .$f$$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  증명 스케치 : 에 대해 크기의 회로로는 계산할 수없는 변수 로 부울 함수를 계산하는 크기가 인 사 전적으로 첫 번째 회로 라고하자 . 그러면 정의 된 언어 작동합니다.$n$$C_n$$2f(n)$$n$$<f(n)$$L$$x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

잘 알려진 개선 사항 은 모든 대해 입니다 . 마찬가지로,$S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• 경우 임의 superpolynomial 결합하고있다 .$f$$S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  증명 스케치 : 그렇지 않은 경우 특히 이므로 입니다. 패딩 인수 에 의해 패딩 인수 .$\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$$\mr{PH}=S_2\mr P$$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

명백한 수업이 더 좋습니다. Apoorva Bhagwat이 제기 한 이의 제기를 고려하여 합니다. 이어서 모든 대 와 같은 인자 수율 :$\mr{NLin=NTIME}(n)$$\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• 경우 임의 superpolynomial 결합하고있다 .$f$$\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  증명 스케치 : 만약 다음, 패딩, 내포 . 그런 다음 이전과 같이 진행합니다.$\mr{NLin\subseteq P/poly}$$\mr{NP\subseteq P/poly}$$\mr{PH}=O_2\mr P$

MA와 관련된 결과도 있습니다. 자주 언급되는 결과는 가 과잉이라는 것입니다. Santhanam이 입증 임의의에 대한 및 유사한 인자 준다 :$\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

$$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$$ $k$

• 경우 어떤 superpolynomial 결합하고있다 $f$

  $$\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$$

  증명 스케치 : Santhanam의 Lemma 11 ( 가 포함 된 표준 버전 )에 의해 PSPACE가 완료된 언어 과 무작위 화 된 다중 시간 oracle TM 이 있습니다. 입력 에서 은 길이 의 오라클 쿼리 만 요청합니다. ; 만약 다음, 확률로 수락 ; 그리고 만약 후 모든 Oracle위한 , 확률로 수락 .$\mr{PSPACE=IP}$$L$$M$$x$$M$$|x|$$x\in L$$M^L(x)$$1$$x\notin L$$A$$M^A(x)$$\le1/2$

  적합한 단일 톤 다항식 경우 의해 정의 된 약속 문제로 둡니다 하자 의 다항식 감소 될 의 보완하도록, 그리고하자 약속의 문제 $p$$A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$

  $$\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$$ $h(x)$$L$$B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $$\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$$ 하면 적절하게 큰, 선택 따라서 에 다항식 회로가 있다고 가정합니다 ( 예 : . 하자 계산하는 작은 회로 사이즈 나타내는 길이에 입력을 , 넣어 ; 보다 정확하게 말하면, 그때$p(n)$ $$B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$$ $B$$B\in\mr{SIZE}(n^k)$$s(n)$$L$$n$$t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $$t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ 은 을 로 줄이므로 이며 이는 그러나 는 초 다항식이므로 있습니다. 이것은 대한 모순을 충분히 크게한다.$L$$B$$L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $$s(n)\le t(n)^k.$$ $f$$t(n)=s(n)^{o(1)}$$n$

비 약속 된 버전의 MA로 결과를 선호하는 경우 Miltersen, Vinodchandran 및 Watanabe 는 반 지수 함수에 대한 . 우리는 두 가지 방식으로 개선 할 수 있습니다. 첫째, 상수 대한 지수 한계를 유지하고, 명백한 클래스를 유지합니다. 여기서, 지수 함수는 대체로 와 같은 함수 입니다.

$$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$$ $f$$\tfrac1k$$k$$\tfrac1k$$f$$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$. 정확한 정의는 Miltersen–Vinodchandran–Watanabe 논문 및 참고 문헌을 참조하십시오. 여기에는 , 및 와 같이 잘 작동하는 잘 작동하는 함수 , 가 포함됩니다 . 또한 및 인 경우 . 그런 다음 우리는 :$e_\alpha(x)$$\alpha\in\mathbb R_+$$e_0(x)=x$$e_1(x)=e^x-1$$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

• $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ 임의위한 .$\alpha>0$

  증거 스케치 : 그렇지 않다고 가정합니다. 정수 를 . 저를 줄여 보자 패딩으로 모든 대해 . 또한 위의 Santhanam 's Lemma 11을 사용하면 사소 이후 , 반복 애플리케이션 (1) 및 (2) 중 하나는 .$k$$1/k<\alpha$

  $$\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$$ $$\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$$ $\beta\ge0$ $$\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$$\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$$\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , 등이 있습니다. 단계 후에 패딩을 한 번 더 사용하면 가 발생하여 위의 결과와 모순됩니다 로 superpolynomial 바인딩된다.$\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$$\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$$k$ $$\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$$ $$\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$$ $e_{1/k}$

아무도 답변을 게시하지 않았으므로 원래 질문에 게시 된 의견으로 직접 질문에 답변합니다. Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan 및 Alex Golovnev에게 감사드립니다.

$MA_{exp}$ 는 초 다항식 하한이 알려진 가장 작은 균일 한 클래스 인 것 같습니다.

$O_2^P$ 는 각 고정 에 대해 크기가 회로가없는 가장 작은 알려진 클래스 인 것 같습니다 .$n^k$$k$

대각 화함으로써, 모든 슈퍼 다항식 (및 공간 작도) 함수는 다음 것을 , 하지 않는 크기의 다항식 회로를 갖는다. 대 는 여전히 열려 있습니다.$s$$DSPACE[s(n)]$$PSPACE$$P/poly$

$P/poly$ 는 보수로 닫히므로 가 포함 된 경우에만 가 포함 .$NEXP$$coNEXP$

내가 틀렸다면 정정하십시오. 그러나 내가 알 수있는 한 실제로는 의 고정 다항식 크기 ​​하한을 알 수 없습니다 . 이는 일반적인 Karp-Lipton 인수가 에 적용되지 않기 때문입니다. 인지 알 수 없기 때문에 (실제로 ). 그러나 알아 않는다 함유되지 않은 임의 대해 Chakaravarthy 로이 의해 도시 된 바와 같이.$O_2^P$$O_2^P$$\textsf{NP}\subseteq O_2^P$$\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$$\textsf{NP}^{O_2^P}$$\textsf{SIZE}(n^k)$$k$