단항 상황에 맞는 언어가 규칙적인지 결정

그 질문은 잘 알려진 결과입니다

문맥없는 문법은 정규 언어를 생성합니까?

결정할 수 없습니다. 그러나 단항 알파벳으로 결정할 수 있습니다.이 경우 문맥이없는 언어와 일반 언어의 클래스가 일치하기 때문입니다.

내 질문은 단항 상황에 맞는 언어 에서 어떤 일이 발생하는지 아는 것 입니다.

단항 알파벳에서 주어진 상황에 맞는 문법이 정규 언어를 생성하는지 여부를 알 수 있습니까?

대답이 긍정적이면 복잡성에 대한 평가를 환영합니다.

아아, 당신의 문제는 결정할 수 없습니다. 내가 우연히 발견 한 접근법 (과도하게 처리 될 수 있으므로보다 편리한 접근 방식을 가진 사람은 단계적으로 올라 가야합니다!)은 먼저 대각선 인수를 사용하여 일관 되지 않은 단항 CSL 가 있음을 보여줍니다 (긍정적 결과와 대조적 임) ) 단항의 CFL 들면 다음 TM 부여하여 기계 튜링위한 정지 문제로부터 감소 CSG 구성, 시뮬레이트 해석 스트링보다 작은 테이프의 길이 인식 경우 그 경계를 넘고없이 정지하고 그렇지 않으면 구문 분석에 실패하여 모든 성공적으로 구문 분석합니다.X M G M w X M G w ∈ $X$$M$$G$$M$$w$$X$$M$$G$$w \in X$충분히 긴 iff 정지 ( 가 유한하게 많은 문자열에서만 와 다르 므로 규칙적이지 않음), 그렇지 않으면 는 빈 언어 (명확하게 규칙적 임)를 인식합니다.M L ( G ) X $M$$L(G)$$X$$G$

이 접근법의 핵심은 CSG가 구문 구조와 같은 문법적인 문제에만 관심이있는 것이 아니라는 사실입니다. 실제로 CSG 도출 시퀀스는 임의의 비결정론 적 공간 제한 계산을 수행 할 수 있습니다 (실제로 $\mathbf{PSPACE}$-완전한 CSL)) 구문 분석 문자열에 맞추기 전에 이는 CSG와 단조 법 문법 (단항 알파벳으로 제한 될 때 계속 작동 함) 간의 표준 변환과 간단한 단조 생성법을 사용하여 계산 기록의 단계를 나타내는 파생 문자열에서 튜링 기계 전환을 시뮬레이션하는 데 가장 쉽게 관찰됩니다. 이 답변을 통해 CSG가 주어진 계산을 시뮬레이션해야 할 때 독자가 대부분의 세부 사항을 직감 할 수 있다고 가정합니다. (나는 asker가이 모든 것에 익숙하다고 가정하지만, 완전성을 위해 그것을 극복하고있다. 그럼에도 불구하고, 의견에 대한 설명을 자유롭게 요청하십시오.)

첫째, 비정규 단항 CSG가 필요합니다. ( 편집 : 이것은 과잉이었다-비정규 단항 CSL은 가장 기본적인 비정규를 나타내는 모든 언어의 펌핑 렘마를 통해 쉽게 전시 될 수있다. 예를 들어 주석을 참고하라. 핵탄두를 칼 싸움에 가져 오는 것과 같았습니다.

D 1 , D 2 ,을 보자 . . . 알파벳 DFAS 위에 열거 될 { 1 } 의 상태 수 있도록, D는 난 의 증가 나 . 우리는 CSG 설명 G X를 문자열 구문 분석하는 동안 그 동작의 측면에서 하나 N을 ∈ { 1 } * :$D_1, D_2, ...$$\{1\}$$D_i$$i$$G_X$$1^n \in \{1\}^*$

1. 우리는 "테이프"라고 생각하는 n 개의 "공백"비 터미널 문자열을 비 결정적으로 생성합니다 . 빈 비 터미널 중 하나는 별도의 "빈 + 읽기 / 쓰기 헤드 + 시작 상태"비 터미널이어야합니다. 구문 분석 문자열이 1 n 이 아닌 경우이 파생은 실패하게됩니다. 우리는 유일하게 가능한 도출에 의해 시뮬레이션 된 결정 론적 계산의 관점에서 나머지 프로세스를 설명합니다.$n$$1^n$
2. 테이프에 D i 인코딩과 그 뒤에 숫자 i 를 2 진수로 인쇄합니다. 여기서 i = n - c 및 c 가 선택되어 테이프에 필요한 공간을 항상 확보 할 수 있도록 충분한 공간이 확보됩니다. (이 공간은 모두 인코딩하는데 요구 때문에 가능한 D에게 I를 하고 난 에서 대수적으로 증가 I ).$D_i$$i$$i = n - c$$c$$D_i$$i$$i$
3. 평가 D I를 입력에 1 I . 이것은 표현이 필요하지 않습니다 D는 난 의 테이프를 - 당신은 당신의 전환에 따라 변경 한 상태로 저장할 수 있습니다 D 난 당신이 감소로 난을 .$D_i$$1^i$$D_i$$D_i$$i$
4. 경우 D는 전 거부 한 난을 생성 비 단자 전체 테이프 덮어 1 . 그렇지 않으면 실패합니다.$D_i$ $1^i$$1$

우리는 걸릴 X = L ( G X를 ) . 분명히 X ≠ L ( D I ) 임의의 용 제가 이후 1 I + C ∈ X ⇔ 1 I + C ∉ L ( D I ) .$X = L(G_X)$$X \ne L(D_i)$$i$$1^{i+c} \in X \Leftrightarrow 1^{i+c} \notin L(D_i)$

다음 단계는 정지 문제에서 asker의 문제로의 축소를 설계하는 것입니다. (위의 섹션을 건너 뛴 경우 X 는 CSG G X에 의해 생성 된 임의의 비정규 단항 CSL이됩니다 .)$X$$G_X$

M을 임의의 TM 이라고하자 . 구문 분석 문자열 1 n 에서 다음과 같이 동작 하는 M 을 CSG G 로 변환합니다 .$M$$M$$G$$1^n$

1. n - 2 개의 빈 비 터미널을 생성 합니다. 가장 왼쪽은 별도의 빈 + 읽기-쓰기 헤드 비 터미널이며 각면에 "경계"비 터미널을 생성합니다. 다시 말하지만, 잘못된 수의 비 터미널을 생성하면 실패합니다.$n-2$
2. 경계가없는 비 터미널 사이의 공간에서 M 을 시뮬레이션 합니다. 경우 M은 지금까지 경계 상태 중 하나 위에 변화, 우리는 시뮬레이션을 종료하고 그 가정 M 결코가 정지합니다.$M$$M$$M$
3. 경우 M의 가 정지,처럼 행동 G X . 시뮬레이션을 종료해야한다면 실패합니다.$M$$G_X$

M 이 경계 내에서 영원히 실행될 경우 G 는 구문 분석 문자열을 생성 할 수 없으므로 실패합니다. 경우 M을 정지하고, 그 다음 공간이 어느 정도가 N 함유 충분 M 의 전체 계산은 따라서 G가 파싱 1 m를 할 때마다 m ≥ N + 2 및 1 m ∈ X , 따라서 X 의 상기 연합 L ( G ) 유한 언어, L ( G $M$$G$$M$$n$$M$$G$$1^m$$m \ge n+2$$1^m \in X$$X$$L(G)$$L(G)$규칙적이지 않습니다. 반면에 M이 멈추지 않으면 L ( G ) = ∅ 은 분명히 규칙적입니다.$M$$L(G) = \varnothing$

L ( G ) 이 규칙적 인지 여부를 결정하는 알고리즘은 M 이 빈 테이프에서 정지 하는지 여부를 결정하는데 , 이는 결정 불가능하다. 그것은 asker의 문제가 결정 불가능하다는 것을 따릅니다.$L(G)$$M$

이것은 본질적으로 위와 같은 대답이지만 "보다 편리한"답변을 찾고 있기 때문에 이것을 언급하고 있습니다. (이것은 여기의 첫 번째 게시물이므로 사소한 내용을 게시하는 경우 저를 용서하십시오!)

단항 상황에 맞는 언어의 경우 공허함을 결정할 수 없습니다. 상황에 맞지만 비정규 언어 N ⊆ a ∗를 수정하십시오 . 위한 LBA 주어 L ⊆ * 번 쉽게하는 LBA 만들 수 L ' = { N을 | N ∈ N  및  ∃ m ≤ N : m ∈ L } . 그러면 L 이 비어있는 경우에만 L ' 이 명확 합니다.$N\subseteq a^*$$L\subseteq a^*$$L'=\{ a^n \mid \text{$a^n\in N$ and $\exists m\le n\colon a^m \in L$}\}$$L'$$L$

업데이트 : 물론 동일한 논쟁은 결정 론적 로그 공간을 결정할 수 없다는 것을 보여줍니다.