지수 적으로 해결할 수있는 하드 그래프 문제

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Arora, Barak 및 Steurer의 고유 게임 및 관련 문제에 대한 하위 지수 알고리즘 의 최근 결과를 고려하여, 하위 지수 시간 알고리즘이 있지만 다항식으로 해결할 수없는 것으로 생각되는 그래프 문제에 관심이 있습니다. 유명한 예는 런타임의 지수 지수 알고리즘을 갖는 그래프 동형입니다 . 또 다른 예는 준 다항식 시간 ( )으로 해결할 수있는 log-Clique 문제입니다 . $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

흥미로운 예를 찾고 있으며 바람직하게는 서브 지수 하드 그래프 문제의 설문 조사에 대한 참조를 찾고 있습니다 ( 반드시 완료되지는 않음 ). 또한 서브 지수 시간 알고리즘에 그래프 문제가 있습니까? $NP$ $NP$

Impagliazzo, Paturi 및 Zane 은 지수 시간 가설이 Clique, k-Colorability 및 Vertex Cover에 시간이 필요하다는 것을 나타 냅니다. $2^{\Omega(n)}$

cc.complexity-theory reference-request

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

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완전성을 위해 : log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

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그런데 Max Clique 문제는 일반적으로 시간 안에 풀 수 있습니다. 여기서 은 입력 크기입니다. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

그래프가 인접 행렬을 통해 표현되면 이므로 무차별 대입 검색에는 시간이 걸립니다 . $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

그러나 실행 시간 의 알고리즘을 통해 인접 목록으로 그래프를 표시하더라도 동일한 경계를 얻을 수 있습니다 . ,의는 얻을 수 있도록 방법을 보려면 - 시간 알고리즘 우리가 그래프 제공되는 NP-완전한 의사 결정 문제에 대한 와 그리고 크기 있는지 알고 싶습니다 . $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

알고리즘은 단순히 정도의 모든 정점을 제거 하고 그 가장자리에 입사 된 모서리를 제거한 다음 다시 수행합니다 . 각 정점 의 하위 집합 에 대해 정점에 의해 유도 된 하위 그래프가 남을 때까지 각 단계 또는 빈 그래프가 있습니다. 후자의 경우, 크기 존재할 수 없음을 알고 있습니다. 전자의 경우, 대략 시간에 실행되는 무차별 검색을 수행 합니다. 참고 및따라서 이므로 시간에 실행되는 무차별 검색 는 실제로 . $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— 루카 트레비 산
소스

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실제로 이러한 종류의 이유로 Impagliazzo, Paturi 및 Zane은 약 대 복잡성을 요청할 때 을 증인의 크기 로 설정해야 한다고 주장했습니다. 문제의 일부로 정의해야합니다.) 에서 -clique 경우 증인의 크기입니다작은 , 말할 수 있듯이 wlog에 적어도 가 있다고 가정 할 수 있습니다. 모서리와 입력 크기가 감시 크기보다 훨씬 큽니다.

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— 보아스 바락

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개의 꼭짓점의 모든 평면 그래프 에는 treewidth 이 있으므로 트리 폭의 그래프에 시간에 해결할 수있는 모든 문제 는 최대 ~ ( 이러한 많은 문제는 다항식 시간의 트리 폭에 대한 상수 인자 근사값을 계산하고 (예를 들어, 래커 처 알고리즘을 사용하여 분기 폭을 계산하여) 트리 폭 알고리즘을 실행하여 평면 그래프에서 하위 지수 시간 알고리즘을 갖습니다. 폼 의 그래프의 정점. 예로는 Planar Independent Set 및 Planar Dominating Set이 있으며, 이는 NP 완료입니다. $n$ $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— 바트 얀센
소스

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SUBEPT ( sub-exponential time solvability)와 FPT ( fixed parameter tractability ) 사이에는 밀접한 관련이 있습니다 . 이들 사이의 링크는 다음 백서에 제공됩니다.

하위 지수와 매개 변수화 된 이론 사이의 동 형사상 , Yijia Chen과 Martin Grohe, 2006.

간단히 말해서, 그들은 매개 변수화 된 문제 를 다른 매개 변수화 된 문제 매핑하는 미니어처 매핑 이라는 개념을 도입했습니다 . 입력 크기로 매개 변수화 된 문제로 정상적인 문제를 보면 다음과 같은 연결이 있습니다. (논문 16의 정리 참조) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

정리 . 는 SUBEPT에 있고 iff 는 FPT에 있습니다. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

여기서 정의에주의하십시오. 일반적으로 -clique 문제는 에서 매개 변수화 된 것으로 간주 하므로 지수 시간 가설을 가정 할 때 하위 지수 시간 알고리즘이 없습니다. 그러나 여기서 우리는 입력 크기 문제를 매개 변수화하여 에서 문제를 해결할 수 있습니다 . 이는 지수 지수 시간 알고리즘입니다. . 그리고 정리는 크릭 문제가 매개 변수 의 약간의 비틀림에서 다루기 쉬운 고정 된 매개 변수 라고 알려줍니다 . $k$ $k$ $O(m+n)$ $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

일반적으로, SERF 감소 (서브 지수 감소 패밀리) 하의 SUBEPT 문제는 FPT 감소 하의 FPT 문제로 변환 될 수 있습니다. 더 나아가, 지수 시간 복잡성 이론과 매개 변수화 된 복잡성 이론에서 문제의 전체 계층 구조 사이에 동 형사상 이론을 제공했기 때문에 연결은 더욱 강해졌다. (정리 25와 47) 동 형사상이 완전하지는 않지만 (그들 사이에 누락 된 링크가 있지만) 이러한 문제에 대한 명확한 그림을 갖는 것이 여전히 좋으며, 매개 변수화 된 복잡성을 통해 하위 지수 시간 알고리즘을 연구 할 수 있습니다.

자세한 정보는 Jörg Flum 및 Martin Grohe 의 설문 조사 에서 복잡도 열의 편집자 인 Jacobo Torán과 함께 확인하십시오.

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

예. btw, Flum과 Grohe는 설문을 썼습니다; Toran은 Complexity Column 편집기입니다.

— Andy Drucker

@ 앤디 : 정정 주셔서 감사합니다. 그에 따라 기사를 수정하겠습니다.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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또 다른 예로는 Np 정점을 가진 그래프 에서 NP-hard이지만 시간 에서 해결할 수있는 Cop and Robber 게임이 있습니다. XML의 BibTeX 서지 기록 Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol Suchan : 그래프에서 빠른 강도를 추구합니다. 이론. 계산. 공상 과학 411 (7-9) : 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
소스

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죄송합니다. 어려운 문제는 지수 시간 가설 때문에 하위 지수 시간 알고리즘이 없다고 믿었습니다 . :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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부끄러운 일이 아닙니다. 그러나 이것이 사실이 아닌 것을 쉽게 알 수있는 한 가지 방법은 언어 다음 '예'가 있는 '패딩 된'버전 을 형성하는 것입니다. 인스턴스는 , 일부 고정 된 대해 입니다. 그러면 은 이지만 본질적으로 시간에 실행되는 결정 론적 알고리즘을 갖습니다 .

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Andy Drucker

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파벌에 대한 가장 근사 알고리즘은 믿을 수 없을 정도로 나쁜 근사 요인 제공 (의 근사 요인 리콜 사소한입니다). $n/\text{polylog } n$ $n$

다양한 경도 가정 하에서는 근사치의 경도가 있지만, 이것과는 일치하지 않지만 경도는 입니다. 개인적으로, 나는 clique에 대한 근사가 다항식 시간 알고리즘만큼이나 좋다고 생각합니다. $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

그러나 clique에 대한 는 준 다항식 시간에 쉽게 수행 할 수 있습니다. $n/\text{polylog } n$

NP- 하드 문제는 SAT에서 다항식 시간이 단축되는 문제입니다. SAT에 시간이 필요 문제로 인해 시간으로 변환 될 수 있습니다 . 후자의 입력 크기가 N 인 경우 작은 상수 대해 있습니다. $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— 다나 모시 코 비츠
소스