결합기의 불완전한 기초

이것은 이 질문에서 영감을 얻은 것입니다. 하자 두 바인딩 변수를 모두 콤비를 수집합니다. 가 된 조합 완료? $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

나는 그 대답이 부정적이라고 생각하지만 이에 대한 언급을 찾을 수 없었습니다. 또한 콤비 네이터 세트의 조합 불완전 성 증명에 대한 참조에 관심이 있습니다 ( 한 묶인 변수가있는 콤비 로 구성된 세트 가 불완전한 이유를 알 수 있으므로이 세트는 요소 이상을 포함해야합니다 ). $\mathcal{D}$ $\mathcal{D}$

lo.logic lambda-calculus combinatory-logic

— tci
소스

콤비 네이터의 바운드 변수 수 (= 닫힌 람다 항)에 의해 의미하는 바를 명확하게 설명 할 수 있습니까? 람다 추상화의 총 수는?

— Noam Zeilberger

예, 이것이 제가 의미하는 바입니다.

— tci

실제로, 그것은 정확히 당신이 의미하는 것이 아닐 수도 있습니다 ... 아마도 당신은 람다 추상화에 사용 된 고유 변수의 총 수를 의미하므로 예를 들어

는 4 개의 람다 추상화에도 불구하고 2 개의 뚜렷한 경계 변수가 있습니까? 이 경우 Rick Statman은 " 두 변수가 충분하지 않습니다 " 에서이 질문에 부정적으로 대답 한 것으로 보입니다 .

(λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . x y)

$(\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.x y)$

— Noam Zeilberger

권리. 나는 이것이 내가 찾고있는 대답이라고 생각하며, 그것이 Statman의 결과 일 것으로 기대했다. 아직 확인하지 않았지만 언급 한 질문에 대해 부정적인 대답을 줄 것이라고 생각합니다. 답변으로 게시하면 기꺼이 받아들입니다.

— tci

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먼저 콤비 네이터에서 바운드 변수를 세는 것에 대한 설명 (= 닫힌 용어) . I 대해 요구로 질문을 해석 그래서 예를 들면 용어 을 갖는으로 간주 4 개의 바인더 (즉, 람다 추상화)를 갖음 에도 불구하고 2 개의 바인딩 된 변수 . 이 계산 방법은 처음에는 조금 이상했습니다. $t$

the total number of distinct bound variable names in t

$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$

t = (λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . y x)

$t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$

-conversion : 예컨대

-equivalent을

하지만,

뚜렷한 경계 변수 이름을 갖는다. 그러나닫힌 용어

를 작성하는 데 필요한최소의 고유 바운드 변수 이름

같기 때문에 이것은 실제로 문제가되지 않습니다.

α

$\alpha$

t

$t$

α

$\alpha$

t^{'} = (λ x . x (λ y . y)) (λ a . λ b . b a)

$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$

t^{'}

$t'$

t

$t$

the maximum number of free variables in a subterm of t

$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$ 후자의 개념은

변환에서 변하지 않는다 .

α

$\alpha$

따라서 는 최대 두 개의 고유 한 바운드 변수를 사용하여 작성할 수있는 모든 콤비 네이터의 모음 또는 하위 용어가 최대 2 개의 자유 변수를 갖는 모든 콤비 네이터의 모음이되게하십시오. $\mathcal{C}$

정리 (Statman) : 는 조합 적으로 완전하지 않습니다. $\mathcal{C}$

이에 대한 최초의 증거는 Rick Statman의 기술 보고서에 포함되어있는 것 같습니다.

순서 2의 유전 병합. 1988 년 8 월 Carnegie Mellon Math Department 기술 보고서 88-33. ( pdf )

Statman은 본질적으로 동형 인 조합기 모음을 정의합니다. 기술 보고서는 실제로 HOT에 대한 단어 문제 (즉, 균등)가 조합 적으로 완전하지 않다는 사실에도 불구하고 여전히 결정 불가능하다는 것을 보여준다. Statman은 후에 HOT가 다음과 같이 조합 적으로 완전하지 않다는 증거로 짧은 독립형 논문을 작성했습니다. $\beta$

두 변수로는 충분하지 않습니다. 이론 컴퓨터 과학, PP에 9 이탈리아어 회의 논문집. 406-409, 2005 ( ACM )

어쨌든, 최초 기술 보고서의 요약에서 볼 수 있듯이, 증거의 개념은 HOT가 "정의 레벨 별 계층"임을 보여주는 것입니다. 즉, 그는의 개념을 정의한다 순위 핫 연결자 용 및 연결자 가족 ,되도록 각각 순위 갖는 되지 않으며 -equivalent 순위 HOT 연결자의 임의의 조합으로 . 이는 경우 HOT가 조합 적으로 완료되지 않았 음을 의미합니다 $Hn$ $Hn$ $n+1$ $\beta$ $n$ 조합기는 일부 동안등급 의 HOT 조합기의 조합으로부터 도출 될 수 있고, 다른 조합기, 특히등급 의 조합기 . $S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$ $n$ $n$ $Hn$ $n+1$

— 노암 제이 버거
소스