유사한 입력 배치에서 부울 회로 평가

부울 회로가 있다고 가정하십시오. $C$ 함수를 계산합니다 . 회로가 최대 2 개의 팬인 및 팬 아웃을 갖는 AND, OR 및 NOT 게이트로 구성되어 있다고 가정합니다.$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

하자 주어진 입력 될. 와 주어지면 단일 비트 위치 에서 와 다른 입력 에 대해 를 평가하고 싶습니다 . 즉, 값 동일하다 그 점을 제외하고 번째 비트는 플립된다.$x \in \{0,1\}^n$$C$$x$$C$$n$$x$$n$$C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$$x^i$$x$$i$

를 독립적으로 평가하는 것보다 더 효율적인 방법이 있습니까?$C$ $n$ 에 시간 $n$ 다른 입력?

취하다 $C$ 포함 $m$게이트. 그런 다음 독립적으로 평가$C$ 모두에 $n$ 입력이 필요합니다 $O(mn)$시각. 계산하는 방법이 있습니까$C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ 에 $o(mn)$ 시각?

선택적인 맥락 : 우리가 산술 회로를 가지고 있다면 (이 게이트는 곱셈, 덧셈, 부정)$\mathbb{R}$그러면 다음을 계산할 수 있습니다. $n$ 지향성 파생 상품 ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ 에 $O(m)$시각. 기본적으로 그라디언트 계산을 위해 표준 방법을 사용할 수 있습니다 (역 전파 / 연쇄 규칙).$O(m)$시각. 해당 기능이 연속적이고 차별화 가능하기 때문에 작동합니다. 부울 회로에 대해 비슷한 것을 할 수 있는지 궁금합니다. 부울 회로는 연속적이고 차별화되지 않으므로 동일한 트릭을 수행 할 수는 없지만 사용할 수있는 다른 영리한 기술이 있습니까? 푸리에의 속임수일까요?

(바리안트 질문 : 팬인 및 팬 아웃이 무한한 부울 게이트가있는 경우 평가하는 것보다 점진적으로 더 잘 수행 할 수 있습니까? $C$ $n$ 타임스?)

나는 그러한 트릭을 찾기 쉽고 / 또는 사소한 만족도 알고리즘을 제공하기 때문에 상당한 이익을 줄 것 같지 않다고 생각합니다. 방법은 다음과 같습니다.

우선, 표면 상으로는 쉬울지라도, 문제는 실제로 회로의 더 일반적인 문제를 해결할 수 있습니다. $C$ 과 $N$ 입력 $x_0, \ldots, x_{N-1}$평가 $C$ 모든 입력에서보다 빠르게 $\tilde{O}(N\cdot|C|)$시각. 그 이유는 우리가 조정할 수 있기 때문입니다$C$ 회로로 $C'$ 크기의 $|C| + \tilde{O}(Nn)$ 입력시 $0^i10^{N-1-i}$, 출력 $C(x_{i})$. 기본적으로, 우리는 단지 작은 조회 테이블을 만듭니다.$0^i10^{N-1-i}$ 에 $x_i$그리고 그것을 안으로 연결하십시오 $C$.

부울 회로의 배치 평가를위한 사소한 알고리즘을 사용하여 빠른 만족도 알고리즘을 만들 수 있습니다. 다음은 시간에 따라 평가를 수행하는 알고리즘이 있다고 가정하는 간단한 경우의 예입니다.$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ 어떤 상수에 대해서도 $\epsilon > 0$. 입력 회로$C$확장하여 만족도를 결정할 수 있습니다. $C$ 회로로 $C'$ 크기의 $2^{n/2}\cdot |C|$ 이것은 첫 번째 가능한 모든 선택에 대한 OR입니다. $n/2$ 에 입력 $C$(다른 입력은 무료로 두십시오). 그런 다음 배치 평가$C'$ 그것의 모든 $2^{n/2}$입력. 최종 결과는 다음과 같이 만족스러운 과제를 찾는 것입니다.$C'$ iff $C$만족합니다. 러닝 타임은$\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$.