트랩 도어가없는 일방향 순열

한마디로 : 단방향 순열 이 있다고 가정하면 트랩 도어가없는 것을 만들 수 있습니까?

더 많은 정보:

단방향 순열은 순열입니다 $\pi$계산하기는 쉽지만 반전하기는 어렵습니다 ( 보다 공식적인 정의는 단방향 기능 태그 위키 참조). 우리는 보통 일방향 순열의 패밀리 를 고려합니다 .$\pi = \{\pi_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, 여기서 각각 $\pi_n$유한 도메인 에 작용하는 단방향 순열입니다.$D_n$. 트랩 도어 트랩 도어 세트가 존재한다는 점을 제외 일방향 순열은 상기와 같이 정의된다$\{t_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 폴리-시간 반전 알고리즘 $I$모든 사람을 위해 $n$, $|t_n| \le {\rm poly}(n)$, $I$ 뒤집을 수있다 $\pi_n$ 그것이 주어진다면 $t_n$.

나는 너무 발생하는 단방향 순열 알고 불가능 (아직 비밀 통로가 존재)이 비밀 통로를 찾을 수 있습니다. RSA 가정을 기반으로 한 예가 여기 에 제공 됩니다 . 질문은 ~이야,

트랩 도어 (세트) 가없는 단방향 순열이 있습니까 (가족 ) 있습니까?

편집 : (더 공식화)

단방향 순열이 있다고 가정합니다. $\pi$ (무한한) 도메인으로 $D \subseteq \{0,1\}^*$. 즉, 확률 다항식 시간 알고리즘이 있습니다$\mathcal{D}$ (입력시 $1^n$, 일부 배포를 유도합니다 $D_n=\\{0,1\\}^n \cap D$), 다항식 적 대적 $\mathcal{A}$, 어떤 $c>0$충분히 큰 정수 $n$:

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}(1^n) \colon \quad \mathcal{A}(\pi(x))=x]<n^{-c}$

(확률은 및 의 내부 코인 토스로 인계 됩니다.)$\mathcal{D}$$\mathcal{A}$

문제는 우리가 단방향 순열 구성 할 수 있는지 여부 입니다. 여기에는 확률 적 다항식 시간 알고리즘 이 있으므로 모든 폴리 크기 회로 군에 대해 , 및 충분히 큰 정수 :$\pi'$$\mathcal{D}'$ $\mathcal{A}'=\{\mathcal{A}'_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$c>0$$n$

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}'(1^n) \colon \quad \mathcal{A}'_n(\pi'(x))=x]<n^{-c}$

(확률은 내부 동전 던지기 통해 촬영 때문에, 결정적이다.)$\mathcal{D}'$$\mathcal{A}'$

다음과 같은 경우를 고려하십시오.

1) 일방향 순열 (OWP)은 존재하지만 트랩 도어 순열 (TDP)은 존재하지 않습니다 (즉, 우리는 Impagliazzo의 " minicrypt "세계 의 변형에 있습니다). 이 경우 존재한다고 보장되는 OWP를 가져 오면 트랩 도어가 없다는 것을 알 수 있습니다.

2) OWP와 TDP가 모두 존재합니다. 여기에는 두 가지 옵션이 있습니다.

(a) 모든 OWP에는 키 트랩 생성 알고리즘 G가 있으며, 이는 함수의 "공개"설명 f와 샘플링 된 트랩 도어 t를 출력합니다. 이 경우 f 만 출력하는 수정 된 키 생성을 고려하십시오. 이것은 당신에게 OWP를 제공하며, 더 나아가 f를 제공하는 것이 불가능합니다 (그렇지 않으면 당신은 f를 뒤집는 효율적인 방법이 있습니다). 이것은 균일하지 않은 변형에도 적용됩니다.

(b) 임의의 x에 대해 f (x)의 반전을 가능하게하는 알고리즘 G가 f와 t를 모두 출력 할 수 없도록하는 OWP f가 존재한다. 이 경우 f는 트랩 도어가없는 OWP입니다.

위의 스레드에있는 의견 중 하나는 실제로 OWP의 존재가 TDP의 존재를 암시하는 것으로 알려져 있는지 여부를 질문하는 것으로 보입니다. 이것은 wrt 블랙 박스 구조 / 축소를 유지하지 않는 것으로 나타 났 으며 일반적으로 열려 있습니다 (위의 스레드에서 내 의견 참조).

나는 일반적인 가정으로부터의 구성에 대해서는 모른다. 그러나 이산 로그 모듈로를 소수 로 사용하여 "트랩 도어없이 일방향 순열"에 대한 그럴듯한 후보를 얻을 수있다 . 즉, 를 기본 루트 모듈로 로 설정하고 . 그런 다음 는 과 사이의 정수에 대한 순열 이며 일반적으로 단방향이라고 가정합니다. "트랩 도어 없음"부분의 경우, 이것이 의미하는 바를 정확하게 정의해야한다고 생각하지만, 아는 한, 반전을 가능하게하는 방법을 설정할 방법이 없습니다. (만약 우리가 암호화를 사용한다면 모든 종류의 멋진 (긍정적 인) 응용 프로그램을 갖게 될 것입니다!)$p$$g$$p$$\pi(x) = g^x\!\mod p$$\pi$$1$$p-1$