유한 필드에 대한 선형 동적 시스템에서 접근성의 복잡성

하자 $A$ 유한 필드 위에 행렬 $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ 및 $x$ , $y$ 공간 벡터 일 $\mathbb{F}_2^n$ . 내가 거기에 존재하는지 여부를 결정하는 계산 복잡도에 관심이 $t \in \mathbb{N}$ 등이 $A^t x = y$ 유한 필드 이상 선형 동적 시스템에 대한 접근 가능성의 문제에서, 즉,.

문제는 분명히 $\mathbf{NP}$ (추측 $0 \le t < 2^n$ , 반복 된 제곱에 의해 다항식 시간으로 계산 $A^t$ ). 저와 제 동료들은 또한 와 같이 이 존재하는지 여부를 확인하는 관련 문제의 $\mathbf{NP}$ 완전성 을 증명할 수있었습니다 . 여기서 는 구성 요소 별 불평등입니다. $t \in \mathbb{N}$ $A^t x \ge y$ $\ge$

이 문제는 매우 자연스러운 것처럼 보이지만 정확한 용어를 알지 못하기 때문에 문헌에서 계산상의 복잡성에 대한 참조를 찾을 수 없었습니다. 평등 문제가 $\mathbf{NP}$ 완전인지 아니면 실제로 있는지 $\mathbf{P}$ 아십니까?

cc.complexity-theory reference-request linear-algebra

— 안토니오 E. 포 레카
소스

가 뒤집을 수없는 경우로 줄일 수 있습니다 .

의 이미지 는 증가하지 않는 부분 공간 체인이므로 결국 일정한 공간

(실제 첫

단계 내). 그러면

는

의 뒤집을 수없는 선형 변환입니다 . 한 때 용이 특별한 경우를 확인할 수

, 이후 단지의 문제 해결 남아 제한

및

A

$A$

A^{1}, A^{2}, \dots

$A^1, A^2, \ldots$

W

$W$

n

$n$

A

$A$

W

$W$

t = 1, 2, \dots, n

$t=1,2,\ldots,n$

A

$A$

W

$W$

x

$x$

로 대체되었습니다

A^{n} x

$A^n x$ .

— Andrew Morgan

명확하게하기 위해, 귀하의 질문을 의 특정 경우 대신 특성 (기본 필드 ) 이상으로 일반화합니다 . 와 를 고정 상수로 사용 하겠습니다 . 이 매개 변수에 대한 정확한 의존성이 무엇인지 알아 내기 위해 독자에게 맡길 것입니다. 여기서 최종 결과는 문제가 특성 유한 필드에 대한 이산 로그 문제와 거의 동일하다는 것 입니다. $p > 0$ $\mathbb{F}_q$ $p=q=2$ $p$ $q$ $p$

보다 구체적인 될하려면 수 있도록 일반 이산 로그 문제 의 확장을 통해 , 확장 필드 주어 의 및 , 찾을 수 있는 정수 그래서 , 또는 보고서가 하나도 존재하지 않음 . 송출 강한 의 확장을 통해 이산 로그 문제 , 주어 정수의 발견, 이전과를 있도록 $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F},a,b$ $z,m$ 정수 대 IFF, 또는 어떠한보고존재하지 않는다. 다음과 같은 감소가 존재합니다. $a = b^t$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $t$

의 불연속 로그 확장 확장에서 문제로의 결정적인 매핑 감소가 있습니다. $\mathbb{F}_q$
확장을 통해 강력한 불연속 로그 문제를 계산하는 오라클에 액세스 할 때 문제를 해결하는 효율적이고 결정적인 알고리즘이 있습니다 . $\mathbb{F}_q$

따라서 누군가가 경도의 증거 또는 가까운 미래에 문제가 에 있다는 증거를 게시 할 가능성은 거의 없습니다 . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

비고 : 의 확장을 통해 강한 이산 로그 문제 (하지만 여전히 일반 이산 로그 문제보다는 겉으로는 강한) 다음과 같은 표면 상 약한 형태 튜링은-감소시킬 수있다 : 확장 필드 감안할 때 의를 및 는 음수가 아닌 최소 정수 를 찾아 합니다. 순서 것으로이 사실은 다음과 하나의 플러스 작은 음수 인 되도록 . $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $b$ $t$ $b^{-1} = b^t$

첫 번째 축소 : 매핑의 확장에 대한 일반적인 이산 로그 문제 는이 문제로 줄어든다 는 주장입니다 . 이것에 승산 사실 다음 우리가 볼 때 선형 변환이다 이 AS 이상의 차원 벡터 공간 . 따라서, 폼의 문제 위에 된다 위에 , 는 차원 벡터이고 는 $\mathbb{F}_{q}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $n$ $\mathbb{F}_q$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\vec{a} = B^t\vec{e}$ $\mathbb{F}_q$ $\vec{a},\vec{e}$ $n$ $B$ $n\times n$ 모든 행렬 . 벡터 에서 쉽게 계산 될 수 , 에서 및 단지 표현 효율적 적어 될 수 . 이것은 ( 물론 증가하는 경우)에도 불구하고 일반적인 이산 로그 문제의 어려운 사례 인 것처럼 보입니다 . 특히 사람들은 여전히 얼마나 멀리 계산할 수 있는지 경쟁하고 있습니다. $\mathbb{F}_q$ $\vec{a}$ $a$ $B$ $b$ $\vec{e}$ $1 \in \mathbb{F}_{q^n}$ $p=q=2$ $n$

두 번째 축소 : 문제는 확장에 대한 강력한 불연속 로그 문제로 문제가 줄어든다는 것입니다 . 이 축소에는 몇 가지가 있으므로 길이를 용서하십시오. 입력 값 을 전체 에서 차원 벡터 및 행렬 하자 . 목표는 되도록 를 찾는 것입니다 . $\mathbb{F}_q$ $n$ $x,y$ $n\times n$ $A$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $y = A^tx$

기본적인 아이디어는 를 요르단 표준 형식 (JCF)으로 작성하는 것인데, 여기서 테스트를 간단한 대수로 강한 이산 로그 문제로 줄일 수 있습니다 . $A$ $y = A^tx$

행렬의 유사성 하에서 표준 양식을 사용하는 한 가지 이유는 이면 입니다. 따라서 를 변환 할 수 있습니다 . 여기서 는 임의의 보다 훨씬 좋은 형식 입니다. JCF는 특히 간단한 형식으로 나머지 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 이제부터 가 이미 JCF에 있다고 가정 하지만 및 확장 필드 항목을 가질 수 있습니다 . $A = P^{-1}JP$ $A^t = P^{-1}J^tP$ $y = A^tx$ $(Py) = J^t(Px)$ $J$ $A$ $A$ $x,y,$ $A$ $\mathbb{F}_q$

비고 : JCF와의 협력에서 발생하는 미묘한 부분이 있습니다. 구체적으로, 우리는 한 번에 확장 내에서 필드 작업을 수행 할 수 있고 JCF를 효율적으로 계산할 수 있다고 가정합니다. 사전은 JCF 사용한 작업 지수 정도의 확장 필드 (특성 다항식의 분 해체)에서 작업이 필요할 수 있기 때문에,이 비현실적이다. 그러나 약간의주의를 기울이고 유한 필드를 연구하고 있다는 사실을 사용하여 이러한 문제를 피할 수 있습니다. 특히, 우리는 각 Jordan 블록과 보다 최대 도의 필드 를 연관시킬 것입니다. $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}'$ $n$ $\mathbb{F}_q$ 그래서 모든 조던 블록의 항목 및 해당 요소 , 내의 모든 라이브 . 필드 는 블록마다 다를 수 있지만,이``혼합 표현' '을 사용하면 JCF를 효율적으로 설명 할 수 있으며 더욱 효율적으로 찾을 수 있습니다. 이 섹션의 나머지 부분에서 설명하는 알고리즘은 한 번에 하나의 블록으로 만 작동하면되므로 관련 필드 내에서 필드 작업을 수행 하는 한 알고리즘이 효율적입니다. 【끝말】 $x$ $y$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$

JCF를 사용하면 다음 형식의 방정식이 제공되며 각 방정식은 Jordan 블록에 해당합니다.

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$

알고리즘은 각 블록을 개별적으로 처리합니다. 일반적으로 각 블록에 대해 강력한 이산 로그 오라클에 대한 쿼리가 있으며 오라클은 모듈 식 조건 을 알려줍니다 . 또한 를 유지 하도록 세트를 가져옵니다. . 모든 블록을 처리 한 후, 우리의 선택이 있는지 확인해야합니다 그 모든 조건을 만족 접속사. 방정식 및 되도록 모든 세트 에 공통 요소 가 있는지 확인하면됩니다. $t = z \pmod{m}$ $S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$ $t$ $s$ $S$ $t = s \pmod p$ $t = z_j \pmod{m_j}$ 가 블록에 걸쳐있는 경우 모두 동시에 만족된다 . $j$

절차 전반에 걸쳐 발생하는 특별한 경우도 있습니다. 이 경우, 우리는 형태의 조건을 얻을 것이다 의 일부 값 , 또는 양식의 일부 특정 정수 특정 블록에서, 또는 우리는 심지어 어떤 사실을 발견 존재하지 않는 수 . 이것들은 문제없이 일반적인 경우의 논리에 통합 될 수 있습니다. $t > \ell$ $\ell$ $t = s$ $s$ $t$

이제 각 Jordan 블록을 처리하기위한 하위 절차를 설명합니다. 이러한 블록을 수정하십시오.

블록의 마지막 좌표에만 집중하십시오. 조건 에는 합니다. 즉, 의 일부 필드 확장에서 불연속 로그 문제의 인스턴스입니다 . 그런 다음 오라클을 사용하여 해결하여 솔루션이 없거나 모듈화 조건을 제공합니다 . "해결책 없음"이 반환되면 해당 내용을 반환합니다. 그렇지 않으면, 우리는 조건 을 이는 . $y = A^tx$ $y_k = \lambda^t x_k$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $y_k = \lambda^t x_k$

다른 좌표를 처리하기 위해 다음 공식으로 시작합니다 (예 : here 참조 ).

{[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} = [\begin{matrix} λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & (\binom{t}{2}) λ^{t - 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) λ^{t - k + 1} \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) λ^{t - k + 2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} \\ λ^{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & \ lambda ^ t \ end {bmatrix } 먼저, 다음과 같은 경우를 처리하겠습니다.

x_{k} = 0

$x_k = 0$ 입니다. 를 의미하는 모듈성 조건이 이미 있으므로 이라고 가정 할 수 있습니다. 그러나 우리는 와 의 첫 번째 항목 과 Jordan 블록의 왼쪽 상단 하위 행렬에 집중하는 것으로 줄일 수 있습니다 . 이제부터는 이라고 가정하십시오 .

y_{k} = λ^{t} x_{k}

$y_k = \lambda^t x_k$

y_{k} = 0

$y_k = 0$

k - 1

$k-1$

x

$x$

y

$y$

(k - 1) \times (k - 1)

$(k-1)\times (k-1)$

x_{k} \neq 0

$x_k \ne 0$

둘째, 경우를 처리합니다 . 이 경우, Jordan 블록의 거듭 제곱은 특수한 형태를 가지며, 대해 또는 다른 조건없이 강제합니다 . 나는 사건을 다루지 않을 것이지만, 각각이 효율적으로 점검 될 수 있다고 말하면 충분하다. (또는 를 뒤집을 수없는 경우로 줄일 수도 있습니다 . 질문에 대한 내 의견을 참조하십시오.) $\lambda = 0$ $t = z$ $z \le k$ $t > k$ $A$

마지막으로 일반적인 경우에 도달합니다. 우리는 이미 를 의미하는 모듈화 조건을 가지고 있으므로 조건을 유지한다고 가정하고 을 의 독립형으로 사용 합니다. 보다 일반적으로 를 사용하여 를 나타낼 수 있습니다. 따라서 우리는 다음 시스템이 선택할 수 있는지 확인해야합니다 . $y_k = \lambda^t x_k$ $y_k x_k^{-1}$ $\lambda^t$ $y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$ $\lambda^{t-z}$ $t$

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & (\binom{t}{2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 1)} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 2)} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$ y_kx_k ^ {-1} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix} 관찰 방정식 보유 여부는 에만 의존합니다 . 대한 의존 은 다항식 일 뿐이 므로

t (\mod p)

$t \pmod{p}$

t

$t$

t

$t$ 는 정수 여야하며, 위의 방정식은 특성 의 필드 위에 있습니다. 따라서 우리는 각 값을 개별적으로 시도 할 수 있습니다 . 우리가 리턴 할 세트 는 시스템이 만족되는 의 선택 일 뿐이다 .

p

$p$

t \in {0, 1, \dots, p - 1}

$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$

S

$S$

t

$t$

따라서 일부 특수한 경우를 제외하고 블록 별 서브 프로시 모듈 식 조건 및 세트 하여 중 하나가 일부 . 이 조건은 이 특정 Jordan 블록 내에서 와 같습니다 . 그래서 우리는 서브 프로 시저에서 이것을 반환합니다. 특별한 경우에는 가 존재할 수 없다고 결론을 내릴 수 있으며 (이 경우 서브 프로 시저가 즉시 그 표시를 리턴 함) 또는 모듈화 조건 과 정수에 대한 와 같은 특수 조건이 있습니다. 또는 정수 경우 $t = a \pmod{m}$ $S$ $t = s \pmod{p}$ $s \in S$ $y = A^tx$ $t$ $t = a \pmod{m}$ $t = s$ $s$ $t > \ell$ $\ell$ . 어쨌든 관련된 조건은 이 Jordan 블록 내의 와 모두 같습니다 . 따라서 위에서 언급 한 것처럼 하위 프로시 저는 이러한 조건을 반환합니다. $y = A^tx$

이것으로 블록 별 서브 프로 시저와 알고리즘 전체의 스펙을 마칩니다. 정확성과 효율성은 앞의 논의에서 따릅니다.

두 번째 축소에서 JCF를 사용 하는 경우의 미묘함 : 두 번째 축소에서 언급했듯이 JCF와의 작업에서 발생하는 일부 미묘함이 있습니다. 이러한 문제를 완화하기위한 몇 가지 관찰 사항이 있습니다.

유한 필드의 확장은 정상 입니다. 경우에 것을이 수단 하는 기약 다항식을 통해 , 다음의 확장 의 루트 포함 포함 모두 의 뿌리 . 환언하면, 기약 다항식의 분 해체 정도 도만을 갖는다 위에 . $P$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}_q$ $P$ $P$ $P$ $d$ $d$ $\mathbb{F}_q$
PRCF ( 기본 합리적 정식 양식) 라고하는 요르단 정식 양식의 일반화가 있으므로 필드 확장을 기록 할 필요가 없습니다. 특히 가 항목이있는 행렬 인 경우 일부 행렬 에 대해 항목이있는 를 쓸 수 있습니다 . 여기서 PRCF에 있습니다. 또한, 우리는 항목 척하면 필드에 살고 확장 모든 고유 값이 포함 된 한 후, $A$ $\mathbb{F}_q$ $A = P^{-1}QP$ $P,Q$ $\mathbb{F}_q$ $Q$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}_q$ $A$ $Q$ 실제로 JCF에 있습니다. 따라서 의 JCF 계산을 PRCF 계산의 특별한 경우로 볼 수 있습니다 . $A$
PRCF 형식을 사용하여 의 JCF를 과 같이 계산할 수 있습니다. $A$
1. 의 PRCF 계산 이상 $A$ $\mathbb{F}_q$
2. 확장 필드 에서 의 PRCF에서 각 블록 의 PRCF (위키피디아 기사의 표기법을 차용) 계산 , 여기서 는 모든 고유 값을 포함하도록 선택됩니다. $C$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $C$
이 인수 분해의 주요 장점은 블록 의 특성 다항식을 모두 돌이킬 수 없으므로 첫 번째 관측으로 를 선택 하여 의 크기 (최대 를 가질 수 있습니다. )를 통해 . 단점은 이제 JCF의 각 블록을 나타 내기 위해 다른 확장 필드를 사용해야하므로 표현이 비정형적이고 복잡하다는 것입니다. $C$ $\mathbb{F}'$ $C$ $n$ $\mathbb{F}_q$

따라서, PRCF를 효율적으로 계산할 수있는 능력이 주어지면, 우리는 JCF의 적절한 인코딩을 효율적으로 계산할 수 있으며,이 인코딩은 JCF의 특정 블록에 대한 작업 이 이상 최대 도의 확장 필드 내에서 수행 될 수 있도록한다 . $n$ $\mathbb{F}_n$

PRCF를 효율적으로 계산하기 위해, 논문 " A Rational Canonical Form Algorithm "(KR Matthews, Math. Bohemica 117 (1992) 315-324)은 의 특성 다항식의 인수 분해 가 알려진 경우 PRCF를 계산하는 효율적인 알고리즘을 제공합니다. . 고정 특성 (예 : 우리와 같이)의 경우, 유한 필드에 대한 일 변량 다항식을 인수 분해하면 결정 론적 다항식 시간에 수행 할 수 있습니다 (예 : " 유한 필드에 대한 다항식에 대한 새로운 인수 분해 알고리즘에 대해 "(H. Niederreitter and R. Gottfert, Math. PR64는 효율적으로 계산 될 수있다. $A$

— 앤드류 모건
소스

JCF를 효율적으로 계산할 수 있습니까? 어쨌든, 그것의 존재는 필드를 확장해야 할 수도 있습니다.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek 고마워-나는 그것이 쉽다는 암묵적 가정하에 일했다고 생각하지만 실제로는 구체적인 내용을 모른다. 적어도 Wikipedia에 따르면 유한 필드에 대한 일 변량 다항식을 인수 분해하는 것과 관련 이있는 것 같습니다 . ...

— Andrew Morgan

JCF를 효율적으로 찾을 수는 있지만 확실하지는 않습니다. 당신은 필드를 확장해야한다고 언급했습니다-이것은 축소에 필요합니다 (상수 크기의 유한 필드에 대한 이산 로그는 쉽습니다). 놀라운 일이 아닙니다. 나는 확장의 정도에 대해 걱정합니다-고유 값은 차수 만 있지만 및 값 은 고유 값 제곱의 선형 조합이므로 크기 의 필드에 있어야 할 수도 있습니다. 내 대답에 가능한 함정을 적어 두겠습니다. 그래도 여전히 충분한 아이디어가 도움이 될 것이라고 생각합니다.

n

$n$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

n!

$n!$

— Andrew Morgan

권리. 요소는 행렬 n의 임의 다항식 일 수있는 행렬의 특성 다항식의 분할 필드에 있으므로 분할 필드는 대략 만큼 높을 수 있습니다 ( 내 계산이 맞습니다). 그러나 어쩌면 이것이 어떻게 든 우회 될 수 있습니다. char poly를 인수 분해 해 봅시다 (별도 분해 도면 충분합니다). 어떻게하면 각 요인의 근에 해당하는 고유 공간을 식별 할 수 있습니까? 즉, 전체 JCF 대신 원래 필드에 대해 블록 대각 행렬을 얻습니다. 여기서 각 블록은 고유 값을 갖습니다.

\exp (\sqrt{n \log n})

$\exp(\sqrt{n\log n})$

— Emil Jeřábek

... 최대 도의 확장으로 . 그런 다음 각 블록을 개별적으로 처리 할 수 있습니다. (이것은 단지 모호한 아이디어이며, 그것을 해결하려고 시도하지 않았습니다.)

n

$n$

— Emil Jeřábek