일반 언어의 계층

알려진 "좋은"계층 있습니까 $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$ 일반 언어의 클래스 내부 (유한 수 있음) $L$ ? 여기서 각 계층의 클래스는 서로 다른 표현성 / 힘 / 복잡성을 캡처합니다. 또한 각 클래스의 멤버 자격은 문제가 될 수있는 별 높이 문제와 달리 일부 요소에 의해 "멋지게"표시됩니다.

감사합니다!

다음은 관심있는 여러 계층의 목록이며 일부는 이미 다른 답변에서 언급되었습니다.

1. 연결 계층

언어 A는 표시된 제품 의 L 0 , L 1 , ... , L , N 의 경우 L = L 0 1 L 1 ⋯ N 개의 L N 일부 문자에 대한 1 , ... , N . 연결 계층 구조는 부울 연산과 다항식 연산 (= 공용체 및 표시된 제품)을 번갈아 정의하여 정의됩니다. Straubing-Thérien 계층 (시작점 { ∅ , A ∗ } $L$$L_0, L_1, \ldots, L_n$$L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$$a_1, \ldots, a_n$$\{\emptyset, A^*\})\ $그리고 도트 깊이 계층 구조 (시작 지점 이 유형입니다,하지만 당신은 다른 출발점, 특히 그룹 언어 (순열 자동 장치에 의해 허용 언어)를 취할 수 있습니다.$\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\ $

2. 별 높이 계층

일반적인 패턴은 문자에서 시작하여 언어를 표현하는 데 필요한 최소한의 중첩 별 수를 세는 것이지만 허용하는 기본 연산자에 따라 몇 가지 변형이 가능합니다. 통합 및 제품 만 허용하는 경우 제한된 별 높이를 정의하고, 통합, 보완 및 제품을 허용하는 경우 (일반화 된) 스타 높이를 정의하고, 통합, 교차점 및 제품을 허용하는 경우 중간 스타 높이를 정의하십시오 . 제한된 스타의 언어가있다 모든에 대한 N 효과적으로 주어진 정규 언어의 별 높이를 계산할 수에가. 별-높이의 경우 별-높이 0 을 결정할 수 있으며 ( 별이없는 언어 ) 별-높이의 언어가 있습니다 $n$$n$$0$$1$그러나 star-height 언어 는 알려져 있지 않습니다 ! 중간 별 높이에 대한 결과는 알려져 있지 않습니다. 개요는 이 백서 를 참조하십시오 .$2$

3. 논리적 계층

그중 많은 것이 있지만 가장 중요한 것 중 하나는 소위 계층입니다. 수식는 것으로 알려져 Σ N 는 형태의 화학식에 상응하는 경우 -formula Q ( X 1 , . . . , X (K) ) φ는 여기서 φ는 정량화 무료 인 Q ( X 1 , . . . , X k ) 는 n 의 시퀀스입니다$\Sigma_n$$\Sigma_n$$Q(x_1,...,x_k)\varphi$$\varphi$$Q(x_1,...,x_k)$$n$첫번째 블록에만 존재 한정사 (첫 번째 블록이 비어있을 수 있음을주의), 제 2 블록 범용 한정사 등이 포함되도록 한정사 블록 마찬가지로, 만약 형성된 N 범용 정량 자 블록 (다시 비어있을 수 있음)으로 시작하는 양자화 블록을 번갈아 가면서 φ 는 Π n- 수식이라고합니다. 넣어야 Σ N (RESP. Π N )을 정의 할 수있는 언어의 클래스 Σ N -formula (RESP. $Q(x_1,...,x_k)$$n$$\varphi$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\Sigma_n$ -formula)와 별 B Σ N 의 부울 폐쇄 Σ N -languages. 마지막으로, Δ n = Σ n ∩ Π n 이라고하자. 일반적인 그림은 다음과 같습니다 . 서명을 지정하려면 물론 필요합니다. 술어 보통이(그리고 각 문자에 대한 X의 편지가 수단위치에 X 라는 단어의는). 그런 다음 이진 기호를 추가 할 수 있습니다$\Pi_n$$\mathcal{B}\Sigma_n$$\Sigma_n$$\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$$\mathbf{a}$$\mathbf{a}x$$a$$x$$<$(해당 계층 구조는 Straubing-Thérien 계층 구조) 및 후속 심볼 (해당 계층 구조는 점 깊이 계층 구조 임)입니다. 다른 가능성은 포함 모듈로 카운트 술어, N을 등 다시보기 용지 개요.$Mod$$n$

4. 부울 계층

일반적인 패턴 (일반 언어에 국한되지 않음)은 Hausdorff 때문입니다. 하자 빈 세트 전체 세트를 포함 언어의 클래스, 그리고 유한 교회법 및 유한 조합에서 마감했다. 하자 D N ( L가 ) 형태의 모든 언어의 클래스가 X = X 1 - X 2 + ⋯ ± X N 여기서 X I ∈ L 및 X 1 ⊇ X 2 ⊇ X 3 ⊇ ⋯ ⊇ X N . 이후$\mathcal{L}$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

$$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$$ $X_i\in \mathcal{L}$$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$클래스 D n ( L ) 은 계층 구조를 정의하며 해당 결합은 L 의 부울 클로저입니다. 다시, 다양한 출발점이 가능하다.$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$

5. 그룹 복잡성

Krohn-Rhodes (1966) 의 결과에 따르면 모든 DFA는 전이 반 그룹이 유한 그룹 인 재설정 (플립 플롭이라고도 함) 오토마타 및 오토마타의 계단식으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 언어의 그룹 복잡도는 언어의 최소 DFA 분해와 관련된 그룹 수가 가장 적습니다. 복잡성의 언어 은 별표가없는 언어 이며 복잡한 언어가 있습니다. 그러나, 복잡한 언어 1 의 효과적인 특성 은 알려져 있지 않다.$0$$1$

6. 회로 복잡성에서 상속 된 계층

출발 점은 좋은 문서 인 그 클래스의 특정에 표시 C 0 ∩ R E g이 된다 decidable. 하자 C C ( Q ) = { L ⊆ { 0 , 1 } * | L ⩽ C 0 M O D의 Q } 여기서 M O D에서 Q = { U ∈ { 0 , 1 $[1]$$AC^0 \cap Reg$$ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ . 만약 q 개의 분할 된 Q ' 다음 C C ( Q ) ⊆ C C ( Q ' ) . 흥미로운 질문은 A C C ( q ) ∩ R e g 가 어떤 q 에 대해 결정 가능한지 여부를 아는 것입니다.$MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$$q$$q'$$ACC(q) \subseteq ACC(q')$$ACC(q) \cap Reg$$q$

링턴 데이비드 A. 믹스; 콤프 턴, 케빈; 스트라 우빙, 하워드; 테리 엔, 데니스 N C의 정규 언어 1 . J. 컴퓨팅 시스템 과학 44(1992)$[1]$$NC^1$

의견 확장 : 자연 계층은 DFA의 상태 수에 의해 유도되는 계층입니다.

우리는 정의 할 수 있습니다 $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( , | Q | = n )$D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$$|Q| = n$

분명히 (간단히 사용 불능 상태)$\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

적절한 포함 쇼에 : 우리는 단순히 언어를 선택할 수 있습니다 L , N + 1 = { 나는 | 내가 ≥ N } ∈ L , N + $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$$L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

매우 비공식적으로 : 을 인식하는 (최소) DFA 는 길이가 n + 1 인 "상태 체인"이어야합니다 : q 0 → a q 1 → a . . . → a q n , F = { q n } 및 q n → a q n ( q n 에는 자체 루프가 있음). 따라서 n + 1 상태이면 충분합니다.$\{ a^{i} \mid i \geq n \}$$n+1$$q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$$F = \{q_n\}$$q_n \to^a q_n$$q_n$$n+1$ . 매주 수용성 경로 그러나 Q 0 의 최종 상태에 대한 Q의 F 보다 엄밀 짧 N + 1 일부 수용해야 I를 가진 I < N 하지에 속하지 않는 L , N + 1 와 DFA 있도록 N 이하인 상태 못해 L n + 1을 수락하십시오.$L_{n+1}$$q_0$$q_f$$n+1$$a^{i}$$i < n$$L_{n+1}$$n$$L_{n+1}$

나는 최근 에이 논문 을 보았는데 또 다른 관련 사례를 제시 할 수있다 (참조, 초록의 마지막 문장).

기 illa 본 판테, 플로리안 델 루프 : 일반 언어의 속.

요약 : 이 기사는 유한 상태 결정적 오토마타 (FSA)와 정규 언어의 속을 정의하고 연구합니다. 실제로, FSA는 속의 개념이 나타나는 그래프로 볼 수 있습니다. 동시에 FSA에는 기본 언어를 통해 의미가 있습니다. 그런 다음 언어와 속의 개념을 연결하는 것이 당연합니다. 우리가 정규 언어에 대한 속의 개념을 소개하고 정당화 한 후, [...] 우리는 임의의 큰 속의 정규 언어를 만든다 : 속의 개념은 정규 언어의 적절한 계층을 정의한다.

There are several natural hierarchies for regular languages of infinite words, that convey a notion of "complexity of the language", for instance:

• Number of ranks needed in a deterministic parity automaton
• Wadge (or Wagner) hierarchy: topological complexity, $\omega^\omega$ levels.

These hierarchies can be generalised for regular languages of infinite trees, for which new hierarchies appear, see for instance this answer.