행렬 문제의 복잡성

최근에 연구에 다음과 같은 문제가 나타났습니다. 알고리즘 질문에 대한 전문가가 아니기 때문에 적절한 문제를 찾기 위해 Google에서 광범위하게 검색했습니다. 나는 3SAT가 어떻게 작동하는지 알지 못하며, ZOE가 정신적으로 유사하더라도 감소가 분명하지 않습니다. 또 다른 가능성은 실재의 실존 이론 일 것이다. 그것은 일치하는 것 같지 않지만 나는 그것에 대해 틀릴 수 있습니다.

문제 : $A$ 와 $B$ 는 모두 선호 필드에서 $n\times n$ 행렬입니다. $A$ 의 임의의 인덱스 집합이 0으로 설정되어 있다고 가정합니다. 마찬가지로, $B$ 의 임의의 인덱스 집합이 0으로 설정되어 있습니다. 질문 : 과 같이 $A$ 및 $B$ 의 나머지 인덱스를 채울 수 있습니까? $AB = I_n$

예 : , . 불가능합니다. $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

이것의 계산 복잡성은 무엇입니까 ( $n$ )?

문헌에서 유사한 결과를 어디에서 찾을 수 있는지에 대한 힌트 나 아이디어는 크게 감사하겠습니다.

편집 (이 게시물에 대해 완전히 잊어 버렸습니다) : arXiv에서 사용할 수있는 최근 연구에서 (인쇄에 관심이있는 사람이 있으면 알려주십시오) 우리는 문제가 유한 필드보다 NP-hard라는 것을 보여주었습니다.

cc.complexity-theory

— MB
소스

기본 필드가 충분히 크면

A B

$AB$ 불가역으로 만들 수 있는지 확인하는 문제는 다항식 아이덴티티 테스트 (보완)로 줄어 듭니다.

의 결정 요인이

A B

$AB$ 누락 된 항목 값의 다항식 이라는 것을 관찰하십시오 .

— Andrew Morgan

또한

와

의 항목을 0으로 제한 하고 필드의 특성이

보다 큰 경우 에는 이분법 일치가 줄어 듭니다.

및 나머지 항목을 0으로 설정 하기 위해 각 인덱스

에 대해 다른 인덱스

선택하는 것을 상상할 수 있습니다 . (이것보다 더 많은 것을 퍼팅하는 것만으로도 상처를 입을 수 있습니다.) 그러면 조건

은 지수

를 갖는 이분 그래프로 표현 될 수 있습니다

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ 왼쪽의 선택에

오른쪽, 및 에지

쌍하는 우리 설정할 수

및

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB : 또한, 참고 경우 확인하면서

가역 모두 여부 검사와 동일 할 수 와

있는지 여부를 확인하는, 개별적으로 역변환 될 수

가역 여부 검사와 동일하지 이루어질 수

할 수 신원을 .

(resp.

)를 뒤집을 수 있는지 여부를 확인 하려면 "효과적으로 수행 할 수 있습니다"라고 말하지만 설정 에서

(resp.

간의 완벽한 일치를 확인 하는 것과 같습니다 .

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (같은 문제이지만 Andrew Morgan의 두 번째 의견과 약간 다른 설정).

— Joshua Grochow

이 문제의 특별한 경우는 선형 상보성 문제와 같이 PPAD에서 가능성이 높습니다. kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌lem 이것은 해결책을 찾는 것이 어렵다는 것을 보여줍니다.

— domotorp

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

글쎄, 여기에 대한 끔찍한 상한이 있습니다 : 또는 Riemann 가설을 가정하면 입니다. 이것은 대해 0의 주어진 패턴에 대해 만들 수 있는지 여부를 확인하는 것은 정수 다항식 의 특정 시스템 에 의 해 가 있는지 확인하는 것이므로 가능합니다. Koiran이이 상한에서 $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

또 다른 접근법은 이것이 이중선 방정식 시스템이라는 사실을 활용하는 것 입니다. 이중 선형 방정식을 푸는 것은 선형 방정식에 대한 "순위 1"솔루션을 찾는 것과 같습니다. 나는 일반적으로 이중 선형 시스템을 풀기위한 더 나은 상한이 있는지 확인하려고 노력했지만 지금까지 운이 없습니다. 또한이 이중 선형 방정식의 특정 구조를 활용하여 일반적으로 알려진 것보다 더 나은 것을 얻을 수 있습니다 ...

— 조슈아 그로 호프
소스

NP의 문제에서 PSPACE가 따르지 않습니까?

— MB

@MB : 유한 필드에서 문제는 분명히 NP에 있습니다 (변수 설정 만 표시). AM보다 더 높은 상한입니다. 입력이 정수 다항식이지만 복소수로 솔루션을 요청하는 경우 솔루션이있을 때 폴리 노미 바운드뿐만 아니라 유한 한 양의 메모리에 쓸 수 있는지 확실하지 않습니다.

— Joshua Grochow