종료하지 않는

나는 이러한 질문들에 대해 생각하고있다 :

일관되고 Turing이 완료된 유형화 된 람다 미적분학이 있습니까?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

그리고 형식화되지 않은 설정 에서 관련 질문에 대답하기가 이미 어렵습니다 ! 보다 구체적으로, 다음과 같은 방식으로 터미네이션 완료를 비 터미네이션에서 복구 할 수 있는지 궁금합니다.

질문 : 감안할 (순수) $\lambda$ -term $t$ 으로 더 약한 머리 정상적인 형태가 않습니다는 항상 고정 소수점 콤비 존재 $Y_t$ 같은 그

$$Y_t\ (\lambda x.x) = t$$

평등은 모두 모듈로 로 취해진 다 $\beta\eta$.

사실로 질문이 버전을 의심 거짓 하나에 질문을 쉴 수 있도록 루프 콤비 루핑 콤비, $Y$ 용어로 정의되도록 모든에 대한 $f$

$$Y\ f=f\ (Y'\ f)$$ 여기서 $Y'$ 루핑 콤비 네이터 여야합니다. 물론 평소처럼 재귀 함수를 정의하기에 충분합니다.

더 일반적으로, 나는 비 종료에서 벗어나는 "자연적인"방법을 찾는 데 관심이 있습니다 $t$위의 방정식이 만족되지 않더라도 t 에서 루핑 콤비이 있습니다.

나는 또한 위의 질문의 약한 버전에 관심이있어, 예를 들어, $t$ 응용 프로그램으로 취할 수있다 $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ 각각 $t_i$ 정상적인 형태 (내가 정말 도움이 있는지 모르겠지만).

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지금까지 : 자연스러운 접근 방식은 f 와 $t$ "고추"응용을하는 것입니다.$f$ 를 통하여, 예를

$$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$$

평소가된다

$$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$$

아이디어의 머리 줄이기 위해 $t$ 람다 애플리케이션에 $\lambda x. t'$ 이고 로 바꿉니다 . f t $\lambda x.f\ t'$ 이지만 다음 단계는 명확하지 않습니다 (그리고 이것이 무엇이든 초래할 수 있다는 것에 회의적입니다).

나는 Böhm 나무에 대해 말할 것이 있는지 알 수 있을지 모르겠지만 $\Omega$ 의 Böhm 나무는 단순히 $\bot$ 이므로 대한 것과는 전혀 $Y_\Omega$ . 추상화.

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편집 : 내 친구는이 순진한 접근 방식이 다음 용어와 함께 작동하지 않는다고 언급했습니다. 순진한 접근 방식은 ( λ x . f (

$$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$$ 그러나 이것은고정 소수점 조합기가아닙니다! f의 두 번째 응용 프로그램을 교체하면이 문제를 해결할 수 있습니다. $$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$$ $f$ 하여 , 그러나 f ↦ 나는 원래 용어를 제공하지 않습니다. 이 용어가 원래 질문에 대한 반대 예인지 확실하지 않습니다 (그리고 더 일반적인 질문에 대한 반대 예는 아닙니다).$\lambda y z.f\ y$$f\mapsto \mathrm{I}$

이 아주 좋은 질문에는 여러 가지 측면이 있으므로 이에 따라이 답변을 구성하겠습니다. $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. 박스형 질문에 대한 답변은 아니오 입니다. 용어 친구가 제안한 x x ) ( λ x . x x x )는 실제로 반례입니다.$\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

주석 에서 질문이 약한 머리 정규형이없는 용어로 제한 될 때까지 "ogre" 와 같은 반례가 있다는 의견이 이전에 발견되었습니다 . 이러한 용어를 제로 용어라고 합니다. 이들은 대체로 람다로 절대 축소되지 않는 용어입니다.$K^\infty=Y K$

고정 소수점 조합기 (fpc) 조합기 Y의 경우 , Y I 는 소위음소거(Aka "root-active") 용어입니다. 모든 감소는 환원으로 더 줄어 듭니다.$Y$$Y I$

는 음소거되지 않습니다. 하지도 않는다 Ω 3 - 인 reducts의 집합과, 검사하여 매니페스트 같이 { Ω 3 ( λ X . X X X ) ⋯ ( λ X . X X X ) $K^\infty$$\Omega_3$ $-$

$$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$$

왜 Y I 인지에 대한 정확한 논증을하기보다는$Y I$ 모든 FPC들에 대한 음소거이다 (모든 루프 콤비를 들어, 참) - 힘든 아직 희망이 명확 충분히있을 수 있습니다 $Y$$-$$-$ 내가 음소거 조건에 제한뿐만 아니라, 귀하의 질문의 명백한 일반화를 처리합니다.

음소거 용어는 해결할 수없는 용어의 하위 클래스 인 0 개의 용어로 구성된 하위 클래스입니다. 이것들은 함께 람다 미적분학에서 "무의미한"또는 "미정의 된"개념에 대한 가장 인기있는 선택 일 것입니다. 이는 각각 사소한 Berarducci, Levy-Longo 및 B \ "ohm 나무에 해당합니다. 의미없는 용어 개념의 격자 Paula Severi와 Fer-Jan de Vries에 의해 상세하게 분석되었다. [1] 묵음 용어는이 격자의 맨 아래 요소, 즉 "정의되지 않은"의 가장 제한적인 개념을 구성한다.

2. 음소거로하고$M$ 를 Y I = M 이라는 속성을 가진 루핑 결합 자로 사용합니다.$Y$$YI = M$ .

먼저 우리는 새로운 변수 에 대해 Y z는 실제로 Y M 과 매우 비슷 하다고 주장합니다$z$$Yz$$Y_M$ 은 "뿌리 얻을 설명 일부 reduct 주위에" $z$$M$ .

Church-Rosser에 의해, 및 M 은 공통 환원율 M '을 갖는다 . 표준 감소 받아 R : Y I ↠ 의 M을 ' . M ' 의 모든 하위 항은 이 축소 에서 Y 1 ≡ Y z [ z : = I ] 의 고유 한 하위 항에 해당합니다 . 모든 하위 항에 대해 C [ N ] = M ' , 0 ] ↠ w h C [ $YI$$M$$M'$$R : YI \thra_s M'$$M'$$YI\equiv Yz[z:=I]$$C[N]=M'$ 인수는 Y I ↠ C $R$ , 중간 다리는 약한 머리 감소입니다 (그리고 마지막 다리는 내부입니다). N은 a로 "보호"되는 Z 두 번째 레그 IFF 일부 REDEX 수축 I P를 가진 I 치환의 자손 [ Z를 : = I ] .$YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$$N$$z$$I P$$I$$[z:=I]$

분명히 는 M의 일부 하위 용어 를 보호해야 합니다$Y$$M$ 해야합니다. 그렇지 않으면 음소거됩니다. 반면에, 비 종료에 필요한 하위 용어를 보호하지 않도록주의해야합니다. 그렇지 않으면 루핑 결합기의 무한 BΩ 저항 트리를 개발할 수 없습니다.

따라서 변수를 해당 하위 용어 앞에 배치하면 정규화 용어가 생성된다는 점에서 모든 축소의 모든 하위 용어가 비정규 화에 필요한 음소거 용어를 찾는 것으로 충분합니다.

고려하십시오 . 여기서 W = λ w 입니다. w 나 w $\Psi = W W$$W = \lambda w. w I w w$ . 이것은 과 비슷하지만 매번 반복 할 때마다 인수 위치에서 W 의 발생이 헤드 변수에 의해 "차단"되지 않았는지 확인합니다. 퍼팅 Z를 임의 subterm 앞에서 결국은 형상의 정상적인 형태로 수득한다 Z P 1 ⋯ P의 K 각 P 제가 하나 인 I , $\Omega$$W$$z$$zP_1\cdots P_k$$P_i$$I$$W$ 또는 " 이들의 -sprinkling를". 그래서 $z$$\Psi$ 일반화 된 질문에 대한 반례입니다.

정리. Y I = Ψ 와 같은 루핑 결합기 가 없습니다.$Y$$YI = \Psi$ .

증명. 모든 reducts 세트 이다 { W W , W I W W , I I I I W $\Psi$ . 로 변환 가능하기 위해서는 Ψ , Y 나는 이들 중 하나를 줄여야합니다. 논쟁은 모든 경우에 동일하다. 구체적으로, Y I ↠ I I W W 라고 가정하자.$\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$$\Psi$$YI$$YI \thra IIWW$

표준 환원 고려 될 수있는 바와 같이 Y I ↠ w P N 4 , P ↠ w Q N 3 , Q ↠ w N 1 N 2 , 따라서  Y I ↠ w N 1 N (2) N (3) N 4 N 1 ↠ I , N 2 ↠ I , N $YI \thra_s IIWW$

$$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$$

$YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$$R_0$$N_i$$R_i$

$[z:=I]$

$$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$$ $R_0$$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

$$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$$

$R_i$$I$-redexes which are created by the substitution $N^z_i[z:=I]$. (In particular, since $N$ is a normal form, so is $N^z_i$.)

$N^z_i$ is what we called a "$z$-sprinkling of $N$", obtained by placing any number of $z$s around any number of subterms of $N$. Since $N \in \setof{I,W}$, the shape of $N^z_i$ will be one of

$$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$$

So $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$, with $N^z_i$ a $z$-sprinkling of $I$ for $i =1,2$ and of $W$ for $i=3,4$.

At the same time, the term $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ should yet reduce to yield the infinite fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$. So there must exist a "sprinkle" $z^{k_j}$ in one of the $N^z_i$ which comes infinitely often to the head of the term, yet does not block further reductions of it.

And now we are done. By inspecting each $N^z_i$, for $i \le 4$, and each possible value of $k_j$, for $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$, we find that no such sprinkling exists.

For example, if we modify the last $W$ in $IIWW$ as $W^z = \lambda w. z(wIww)$, then we get the normalizing reduction

$$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$$

(Notice that $\Omega$ admits such a sprinkling precisely because a certain subterm of it can be "guarded" without affecting non-normalization. The variable comes in head position, but enough redexes remain below.)

3. The "sprinkling transformation" has other uses. For example, by placing $z$ in front of every redex in $M$, we obtain a term $N = \lambda z. M_z$ which is a normal form, yet satisfies the equation $N I = M$. This was used by Statman in [2], for example.

4. Alternatively, if you relax the requirement that $Y I = M$, you can find various (weak) fpcs $Y$ which simulate the reduction of $M$, while outputting a chain of $z$s along the way. I am not sure this would answer your general question, but there are certainly a number of (computable) transformations $M \mapsto Y_M$ which output looping combinators for every mute $M$, in such a way that the reduction graph of $Y_M$ is structurally similar to that of $M$. For example, one can write

$$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposing the Lattice of Meaningless Sets in the Infinitary Lambda Calculus. In: Beklemishev L.D., de Queiroz R. (eds) Logic, Language, Information and Computation. WoLLIC 2011. Lecture Notes in Computer Science, vol 6642.

[2] Richard Statman. There is no hyperrecurrent S,K combinator. Research Report 91–133, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 1991.