상관없는 패턴 매칭 : 다중 패턴

Kalai의 2 페이지 SODA 논문 은 상관 없음 (한 문자와 일치하는 와일드 카드) 과 패턴 일치를위한 간단하고 효율적인 알고리즘을 제공합니다 . 본질적으로 컨볼 루션만큼 쉽습니다.

그러나 신경 쓰지 않는 여러 패턴을 검색하면 어떻게됩니까 ? 예를 들어 FFT 기반 기술로 어떻게 든 해결할 수 있습니까?

다중 패턴 사례의 경우, 적어도 지수 시간 가설이 실패하지 않는 한 단순히 각 요소를 스캔하는 것이 최상의 솔루션 일 수 있습니다.

주어진 세트를 상기 $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ 과 $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ 우주에 $[m]$우리가 있는지 결정할 수 있다면 $S_i$ 과 $T_j$ 그런 $S_i \cup T_j = [m]$ 제 시간에 $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$SETH가 실패합니다. 즉, 실행 시간이있는 CNF-SAT 알고리즘이 있습니다. $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$.

주어진 세트 $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ 과 $T_1, T_2, \dotsc, T_n$위의 문제를 다음과 같이 이진 알파벳을 신경 쓰지 않는 다중 패턴 일치로 인코딩합니다.

• 텍스트는 $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ 어디 $[T_i]$ 자연스러운 인코딩입니다 $T_i$ 이진 문자열로.
• 우리는 $n$ 형태의 패턴 $1\langle S_i \rangle 1$, 어디 $\langle S_i \rangle$ 문자열이다 $y = y_1y_2\dots y_m$ 그런 $y_j = 1$ 만약 $j \notin S_i$ 과 $y_j = *$ 만약 $j \in S_i$ (여기 $*$ 상관 없음 기호입니다).

이제 패턴이 분명합니다 $1\langle S_i \rangle 1$ 발생시 텍스트를 일치시킬 수 있습니다 $1[T_j]1$때에 만 $S_i \cup T_j = [m]$. 총 패턴 길이와 텍스트 길이는 모두$O(nm)$예를 들어, 여러 패턴에 대한 선형에 가까운 단일 패스 알고리즘은 가장 잘 알려진 CNF-SAT 알고리즘에 비해 상당한 개선점을 제공 합니다 ...

(이것은 패턴의 전체 길이에서 2 차 패턴과 같이 패턴을 전처리하는 데 많은 시간을 사용하는 알고리즘에 대해서는 언급하지 않습니다.)