결정자를 계산하기위한 최소 산술 연산 수

작고 고정 된 대해 $n$ x $n$ 행렬 의 행렬식을 계산하는 데 필요한 최소의 기본 산술 연산을 찾는 작업이 있었습니까? $n$ 있습니까? 예를 들어, 입니다. $n=5$

cc.complexity-theory linear-algebra determinant

— 렘빅
소스

나는 이것에 대해 전문가들에게 물었고 3x3 행렬의 결정자를 계산하기 위해 9 곱셈이 필요한지 여부는 현재까지 알려져 있지 않습니다.

— Jeffrey Shallit

@JeffreyShallit

9

$9$ 가 가능하다면 이미 흥미 롭습니다 ( 예를 들어,

미만

n^{3}

$n^3$ ). 방법에 대한

n = 4

$n=4$ ?

— Lembik

아뇨, 전혀 흥미롭지 않습니다. n = 3에 대한 9 곱셈은 마이너에 의한 확장입니다. 다시 n = 4 인 경우 미성년자에 의한 확장은 40을 제공합니다.

— Jeffrey Shallit

@JeffreyShallit 아, 좋은 지적입니다. 고정 된

대해 순진한 것보다 나은 것이 없으면 놀랍습니다 (적어도 나에게) .

n

$n$

— Lembik

누군가 알고 있다면 아마 우리에게 말할 수 있습니다.

— Jeffrey Shallit

행렬 의 결정자를 계산하는데 필요한 산술 연산의 수 는 이며, 여기서 는 행렬 곱셈 상수이다. 예를 들어 , 위키피디아 의이 표 와 각주 및 참조를 참조하십시오. 행렬 반전의 점근 적 복잡성도 이와 동일한 의미에서 행렬 곱셈과 동일합니다. $n\times n$ $n^{\omega+o(1)}$ $\omega$

동등성은 매우 효과적입니다. 특히 에 대해 작업함으로써 행렬 의 행렬식을 재귀 적으로 계산할 수 있습니다. $n\times n$ $(n/2) \times (n/2)$ Schur 보수를 사용하여 블록을 처리하여 .

D invertible ⟹ det (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = det (D) det (A - B D^{- 1} C) .

$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$

따라서 두 개의 결정자를 계산하여 하나의 행렬을 뒤집어 두 쌍의 곱하여 결정자를 계산할 수 있습니다. 행렬 및 일부 더 간단한 연산. 결정적 호출을 재귀 적으로 확장하면 복잡성이 행렬 곱셈과 반전에 의해 지배됩니다. $n\times n$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$

이것은 작은 에서도 서브 큐브 행렬 곱셈 알고리즘을 사용하지 않아도 잘 작동 합니다. (물론,이 가우스 제거에 다소간 등가 인 것을 종료한다.) 예를 들어,에 대한 , 우리가 계산할 수 개의 승산과, 네 개의 분할하여, 함께 개의 곱셈, $n$ $n=4$ $\det(D)$ $D^{-1}$ $BD^{-1}C$ $2\times 8=16$ $\det(A-BD^{-1}C)$ 두 번의 곱셈과 한 번의 곱셈으로의 최종 답변으로 총 수는 곱하기 더하기 나눗셈이며 코 팩터 확장 에서 보다 작습니다 . Strassen의 알고리즘을 사용하면 여기에 두 번의 곱셈이 저장되지만 더 무조건 저장됩니다. $2+4+16+2+1=25$ $40$

이 확장은 분할을 결정적으로 사용한다는 것을 알 수 있습니다. 나누기를 피하려면 Clow 시퀀스 및 동적 프로그래밍 을 사용하여 작업 에서 그렇게 할 수 있습니다 . 또한 곱셈을 달성하고 나눗셈 을 달성하는 방법 도 알려져 있습니다. $O(n^4)$ $n^{2+\omega/2+o(1)}$

— 렉스
소스

곱셈의 수에 대한 하한을 알고 있습니까? n = 3 일지라도?

— Jeffrey Shallit

행렬 의 행렬식을 계산하는 데 필요한 산술 연산의 수 는

"라는 구절은 하한이 알려져 있음을 나타냅니다. 그러나 나는 인용 된 어떤 작품에서도 이것을 보지 못했습니다. 뭔가 빠졌습니까?

n \times n

$n \times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega +o(1)}$

— Jeffrey Shallit

하한은 ( "편미분의 복잡성"W.Baur 및 V.Strassen 의해 용지에 dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X )

— 블라디미르 Lysikov