정확히 n- 비트 인스턴스의 절반을 포함하는 NP- 완전한 언어가 있습니까?

A (바람직하게는 천연) NP-전체 언어 있는가 ,되도록 대한 모든 보유? 다시 말해, 은 모든 비트 인스턴스 의 정확히 절반을 포함 합니다. $L\subseteq \{0,1\}^*$ $n\geq 1$

| L \cap {0, 1}^{n} | = 2^{n - 1}

$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$

L

$L$

n

$n$

cc.complexity-theory np np-complete

— 안드라스 파라고
소스

몇 분 동안 그것에 대해 생각하면 건설을 찾을 수 없다면 매우 놀랍습니다.

— Kaveh

다음과 같이 NP-hard와 NP / POLY에

이 있습니다.

L

$L$

— Neal Young

CNF 공식의 이항 이진 인코딩

의 경우,

만족할만한

시켰음

작동합니다.

e

$e$

{e (φ) 1 | φ

$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$

} \cup {e (φ) 0 | φ

$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$

}

$\}$

— 클라우스 드라 거

@KlausDraeger 불만족은 NP = co-NP가 아닌 한 NP 속성이 아닙니다.

— Andras Farago

이 특성을 가진

가 존재하지 않도록 오라클

가 있습니까?

O

$O$

L \in {N P - C o m p l e t e}^{O}

$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— Erfan Khaniki

답변:

나는 몇 년 전이 질문을했고 보아즈 바락은 긍정적으로 대답했다 .

문은 NP-완전한 언어의 존재에 해당 곳 다항식 시간 계산 가능 $L$ $|L_n|$

부울 수식과 SAT를 고려하십시오. 패딩을 사용하고 수식 인코딩을 약간 수정하면 와 의 길이가 동일한 지 확인할 수 있습니다 . $\varphi$ $\lnot \varphi$

하자 인코딩이 될 $\langle\ \rangle$

모든 공식 및 모든 진리 할당에 대해 , . $\varphi$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
다항식 시간 계산 가능 $|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$
인코딩 된 길이 을 갖는 공식의 수 는 다항식 시간 계산 가능하다. $n$

고려

L := {⟨ φ ⟩ ∣ φ \in S A T} \cup {⟨ φ, τ ⟩ ∣ τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ}

$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$

이 NP- 완전 하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . $L$

만약 , 만족 진실 할당 수 만족시키는 진실 할당들의 수와 동일 . 추가 자체가 진리 할당을 만족의 수까지 추가 . $\varphi \in \mathsf{SAT}$

τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ

$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$

- 1

$- 1$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

있다 진실 할당. 각 는 또는 를 만족합니다 (둘다는 아님). 모든 수식의 경우 는 고려 문자열 , , 및 에 대한 $2^{|\varphi|}$ $\tau$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ $\varphi$ $2(2^{|\varphi|}+1)$ $\langle\varphi\rangle$ $\langle\lnot \varphi\rangle$ $\langle\varphi, \tau\rangle$ $\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$ . 정확히이 중 문자열은 입니다. 길이의 스트링 수 있다는 수단이 의 수식의 개수 인코딩 길이 을 곱하여다항식 시간 계산 가능 $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|+1}+2$ $L$ $n$ $L$ $\varphi$ $n$ $2^{|\varphi|}$

— 라이언 오도넬
소스

이것이 원하는 솔루션이더라도 분명히 링크 전용 답변입니다.

— user2943160

분명히, SAT에는 특별한 것이 없으며 NP- 완전 문제에 대한 검증 자 술어와 함께 작동합니다.

— Kaveh December

@Kaveh, SAT의 특정 속성을 사용하지 마십시오. 인스턴스가 쌍

가되어 주어진 증인

가 쌍의 두 명 중 하나에 대한 증인이되도록 하시겠습니까? 예를 들어 3-COLOR를 위해 어떻게 하시겠습니까?

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot \phi$

τ

$\tau$

— 닐 영

@Neal, V (x, y)를 NP- 완전 문제에 대한 검증자가되게하십시오. W (x, b, y) : = V (x, y) = b를 고려하십시오. 여전히 NP- 완료이며 각 y는 x, 0 또는 x, 1에 대한 증인입니다. SAT만큼 좋지는 않습니다.

— Kaveh

@Kaveh, 예를 들어 SAT와 당신이 제안하는

그러나 그것은 P에 있으며,

와의 결합을 취함으로써 그것을 고치려고하면

, 노조

A = {(ϕ, b, τ) : (τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1} ?

$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$

B = {(ϕ, b) : τ \in S A T \leftrightarrow b = 1}

$B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$

A \cup B

$A\cup B$ NP-hard와 co-NP-hard입니다 (NP에 없을 수도 있음). 편집 : 아, 참조, 당신의 노동 조합 걸릴 의미

말하자면, 함께

...

A

$A$

C = {(ϕ, b) : \exists τ . [(τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1]}

$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

— 닐 영

Kaveh의 의견이 존재하지 않으면 놀랍다는 의견에 동의하지만, 그러한 예를 제시하기가 어려운 이유에 대한 제안이 있습니다. [답은 아니지만 의견이 너무 깁니다.]

누군가가 그런 언어 생각해 낸다고 가정 해보십시오 . 나를 위해 자연적인 방법은 증명하기 위해 은 과 사이에서 명시 적으로 입니다. 개인적으로 인스턴스를 결정할 수 없기 때문에 $L$ $L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$ $L \cap \{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n \backslash L$ $\mathsf{NP}$ -hard 문제가 대부분 "간단한"bijections 나는 양식을해야합니다 함께 올 것 " 길이 보존 전단 사 함수이며, 경우에만 경우 및 " 또한 다항식 시간에 계산 가능한 를 생각해 낼 것입니다 . 그러나 이므로 는 에서의 감소입니다. $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $x \in L$ $f(x) \notin L$ $f$ $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ $f$ $\mathsf{NP}$ -완료는 설정됩니다 . $\mathsf{coNP}$

$\mathsf{EXP}$ $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$

$L$

물론, 이것은 또한 누군가가 예제를 가지고 올 수있는 유형이며, 우리는이 반대를 어떻게 극복 할 수 있는지 쉽게 알 수있을 것입니다. '신념이 틀린 경우를 제외하고는 효과가 없습니다.

$L$

— 조슈아 그로 호프
소스