(어떻게) 튜링 계산 모델이 없을 때 NP 문제를 발견 / 분석 할 수 있습니까?

순전히 추상적 인 수학 / 계산 추론 관점에서 3-SAT, 부분 집합, 출장 세일즈맨 등과 같은 문제를 어떻게 발견하거나 추론 할 수 있을까요? 기능적인 관점 만으로도 의미있는 방식으로 그들에 대해 추론 할 수 있을까요? 가능할까요?

나는 람다 미적분학 계산 모델 학습의 일환으로 자체 질문의 관점에서 순수 하게이 질문에 궁리했습니다. 나는 그것이 "직관적이지 않다"고 Godel이 Turing 모델을 선호하는 이유를 이해합니다. 그러나이 기능적 계산 스타일의 알려진 이론적 한계는 무엇이며 NP 클래스의 문제를 분석하는 데 얼마나 많은 방해가되는지 알고 싶습니다 .

기능적 언어에 대한 비용 의미론 을 살펴볼 수 있습니다 . 이는 튜링 머신, RAM 머신 등을 거치지 않는 기능 언어에 대한 다양한 계산 복잡성 측정 방법입니다 . 찾는 시작하기 좋은 곳은 Lambda the Ultimate post 입니다.

Bob Harper의 실용적인 프로그래밍 언어 기초 7.4 절 에서 비용 의미를 설명합니다.

Accattoli와 Coen 의 불 덩어리의 상대적 유용성에 관한 논문 은 -calculus가 RAM 머신 모델과 관련하여 최대 선형 폭발을 가짐을 보여줍니다 .$\lambda$

요약하자면,이 다른 행성에서는 NP와 관련하여 거의 똑같을 것입니다. 그러나 버퍼 오버플로가 적고 쓰레기가 많지 않을 것입니다.

Andrej와 PhD의 요청에 따라, 나는 자기 광고에 대한 사과와 함께 내 의견을 답변으로 바꾸고 있습니다.

저는 최근 Turing 기계 대신 기능 언어 (λ- 미적분의 변형)를 사용하여 Cook-Levin 정리 ( -완전 SAT) 를 증명하는 방법을 살펴 보는 논문 을 작성했습니다 . 요약:$\mathsf{NP}$

• 핵심 개념은 아핀 근사, 즉 임의의 프로그램을 아핀 프로그램에 의해 근사화하는 것입니다 (입력을 최대 한 번만 사용할 수 있음). 직감은 그래서 아핀 -terms는 불리언 회로와 마찬가지로 임의의 계산에 가깝습니다. $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$
• 결론은 -calculus 세계에서 증명이 훨씬 "높은 수준"이며 부울 회로를 해킹하는 대신 순서 이론, 스콧 연속성 등을 사용한다는 것입니다. 특히, "계산은 지역적"이라는 슬로건 (Cook-Levin 정리의 근간이되는 메시지가 많은 사람들에 의해 주어짐)은 예상대로 "계산이 연속적"이된다.$\lambda$
• 그러나 "자연적인" -완전한 문제는 CIRCUIT SAT가 아니라 HO CIRCUIT SAT, 선형 λ- 말단의 일종의 "해결 가능성"또는보다 정확하게는 선형 논리 증명 네트 (고차와 유사 함)입니다. 부울 회로);$\mathsf{NP}$
• 물론 HO CIRCUIT SAT를 CIRCUIT SAT로 줄일 수 있으므로 일반적인 Cook-Levin 정리를 증명할 수 있습니다.

따라서 "지구의이면에서"변화 할 유일한 것은 아마도 부울 회로 관련 문제 대신에 λ- 계산 관련 문제를 "원시" -완전한 문제.$\mathsf{NP}$

참고 사항 : 위에서 언급 한 증거는 Andrej의 대답에 언급 된 선형 명시 적 대체로 Accattoli의 -calculus 변형으로 재구성 될 수 있습니다 .이 논문에서 사용 하는 -calculus 보다 더 표준 적 입니다.$\lambda$$\lambda$

나중에 편집 : : 더 잘라 내기 및 붙여 넣기 내 댓글에서 내가 더 내가 그것을 이해하고, 문제의 핵심에 관하여 말할 수 있어야 뭔가를 깨닫는 것보다 내 대답했다가 조금 이 가능할 것이다 것은 개발하는 튜링 머신이없는 의 이론 ?$\mathsf{NP}$

나는 카베의 의견에 동의 : 대답은 예 , 아마도 유일한 restrospectively하지만. 즉, 복잡성과 관련하여 (시간과 공간 계산) 튜링 머신은 단순성이 뛰어나고 비용 모델은 시간에 대해 자명하고 공간에 대해 거의 자명합니다. 에서 -calculus 상황이 훨씬 덜 분명하다 : 하퍼의 책에서 안드레이 언급 주어진 것과 같은 시간 비용 모델은 90 년대 중반부터이며, 공간 비용 모델은 거의 존재하지 않는 (I 본질적으로 하나 개의 작품을 알고 여전히 2008 년에 출판 됨 ).$\lambda$

물론 우리는 순전히 기능적인 관점을 사용하여 모든 것을 할 수 있지만 Hartmanis와 Stearns가 용어를 사용하여 복잡한 클래스를 정의 하고 30-50 년 후에 사람들이 자신의 작업에 적응하기 시작 하는 다른 우주를 상상하기는 어렵 습니다. 튜링 기계.$\lambda$

그리고 Kaveh가 지적한 것처럼 "사회적"측면이있다. 사람들은 - 이 중요 하다는 것을 확신했다. Cook은 광범위하게 연구 된 분야 (중심 증명)에서 중심적인 것으로 간주되는 문제가 임을 증명했기 때문에 -완료 (또는보다 현대적인 용어로는 Karp 축소 사용, -완료) 위의 내용은 -calculus 에서 수행 될 수 있음을 보여 주지만, 가장 즉각적인 일은 아닐 것입니다 (이 시점에서 내 준비금이 있지만이 게시물을 너무 길게 만들지 마십시오).$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

마지막으로, 위에서 언급 한 작업에서도 HO CIRCUIT SAT가 CIRCUIT SAT로 축소 될 수 있음을 보여줄 때 term 계산 감소를 명시 적으로 표시하지 않으며 항상 그것을 증명한다는 것을 관찰 할 가치가 있습니다. 다항식 수의 가장 왼쪽 축소 단계에서 정규화됩니다. 나는 단지 복잡한 이론가가 튜링 머신을 명시 적으로 구축하지 않고 다 시간을 증명하지 않는 것처럼 직관적으로 다항식 시간에 구현 될 수있는 알고리즘이 있음을 보여줍니다. -term) 실수 만 확인 할 수 있습니다.$\lambda$$\lambda$

이 현상은 논리와 계산 성 이론에 널리 퍼져 있으며 복잡성 이론은 단지 그것을 상속합니다. 공식적인 시스템과 계산 모델은 종종 직관 을 공식화 할 수 있다는 것을 아는 데만 사용됩니다 . 그 후, 직관만으로도 거의 항상 충분합니다 (주의해서 사용하는 한). 따라서 SAT, TAUT, SUBSET SUM, GI 등과 같은 문제를 해결하고 - 이론을 개발하기가 어렵다는 추론은 합리적이라면 기본 계산 모델과 독립적으로 수행 될 수 있습니다. 비용 모델이 발견되었습니다. -calculus, 튜링 기계 또는 브레인 퍽 프로그램$\mathsf{NP}$$\lambda$직관이 건전하다는 것을 아는 것은 중요하지 않습니다. 튜링 기계는 즉각적이고 실행 가능한 답변을 제공했으며 사람들은 더 이상 갈 필요가 없었습니다.