분류 된 DAG에 대한 딜 워스 정리의 일반화

반 사슬 A의 DAG 있는 서브 즉, 더 없는지, 페어 도달 꼭지점의 되도록 행 도달 의 . 에서 딜 워스의 정리 부분 순서 이론, 그것은 알려져있다 DAG이 더 크기의 반 사슬 경우 , 다음은 최대의 노동 조합에서 분해 될 수 해체 체인, 즉, 감독 경로. $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

이제 레이블이 지정된 DAG , 즉 각 정점 가 고정 유한 세트 의 레이블 를 포함하는 DAG에 관심이 있습니다. 반 사슬을 감안할 때 , I는 정의 할 수 있습니다 표시된 크기 의 레이블 발생의 최소 숫자로 에서 , 즉,. 이 맥락에서 딜 워스의 정리와 비슷한가? 즉, DAG에 레이블 크기 안티 체인이 없다고 가정하면 $v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ , 구조에 대해 무엇을 가정 할 수 있습니까? 특별한 방법으로 분해 할 수 있습니까? 의 경우에는 이미 당황 $\Sigma = \{a, b\}$ 하지만 일반적인 유한 레이블 세트의 경우에도 관심이 있습니다.

이 시각화 $\Sigma = \{a, b\}$ , 말하는 $G$ 라벨 크기의 어떤 반 사슬 없다 $k$ 적어도 함유에는 반 사슬가 없다는 것을 의미 $k$ 정점 표지 및 표시된 정점 ; 이 임의의 큰 반 사슬 수 있지만, 그들은 단지 포함 할 수 있습니다 요소 또는 만 최대 요소, 최대 예외. 큰 안티 체인을 허용하지 않으면 DAG가 본질적 레이블이 붙은 정점의 경우 큰 너비의 부분과 의 경우 큰 너비 사이에서 "대체"해야합니다. $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ 레이블이있는 정점이지만이 직감을 공식화 할 수 없습니다. (물론, 적절한 구조적 특성화는 DAG의 모양과 더불어 꼭짓점의 레이블에 대해 이야기해야한다. 이미 $k \geq 1$ 및 $\{a, b\}$ 의 경우 모든 조건이 완전히 임의의 DAG에 의해 만족되기 때문이다. 꼭짓점에는 동일한 레이블이 있습니다.)

— a3nm
소스

@Saeed, 아니요 작동하지 않습니다. 편지가 안티 체인에 표시되지 않으면 레이블이 지정된 크기가 이라는 사실 때문에 혼란이 생깁니다 . 예컨대 가지고 완전한 이분 그래프 G = (A는 B, E)이, B. A에서 배향 각 가장자리와의 각 정점 라벨 와 함께 B의 각 정점 . 그런 다음 각 안티 체인에는 최대 하나의 색상이 있으므로 크기가 으로 표시 되지만 분리 체인으로 덮을 수는 없습니다 . 당신이 레이블을하는 DAG와 같은 만.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— holf

@holf, 맞습니다. 레이블이 안티 체인에 나타나는 라벨을 셀 수 있다고 생각했습니다. 약간 이상한 정의라고 생각합니다.

— Saeed

@Saeed : 요점은 다양한 기호로 안티 체인을 허용하지 않는 것입니다. 이것의 직관은 우리가 DAG에 대한 문제의 복잡성을 연구하고 있다는 것입니다. 이는 큰 안티 체인이있을 때 사소하게됩니다 (대략 비교할 수없는 기호가 많이 나타납니다). 전반적인 다루기 쉬움을 나타 내기 위해이 패턴이 발생하지 않는 DAG의 경우를 처리하기 만하면되므로 다루기 쉬운 알고리즘을 설계하기 위해 이러한 DAG를 어떻게 분해 할 수 있는지 알아 내고 싶습니다. 예를 들어, 레이블이없는 경우 체인 분해로 인해 동적 알고리즘이 생성됩니다.

— a3nm

함께 찰스 페이퍼 맨 우리는 알파벳으로 표시 DAG에 대한 이와 같은 결과를 얻을 수 있었다 . 본질적으로, 우리가이 DAG 주어진 보여줄 수 의 큰 반 사슬 갖는다 라벨이 지정된 요소의 큰 반 사슬 요소 - 표지 있지만 모두 많은 함유 더 큰 반 사슬 - 표지없고 라벨이 지정된 요소 다음의 분해가 파티션으로 , 여기서 $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

칸막이 우리가 즉, "레이어링"라고 부릅니다 :
- 각 는 볼록한 세트입니다. 즉, 및 이면 $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- 모든 어떠한 없다 및 되도록 $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
어떤 반 사슬에 대한 의 , 일부가 그런 에 "거의 포함"되어 , 즉, 상수보다 작다 $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
각 에 대해 다음 중 하나가 적용됩니다.
- 라벨이 붙은 요소의 큰 안티 체인을 포함하고 라벨이 붙은 요소의 큰 안티 체인을 포함하지 않습니다 $L_i$ $a$ $b$
- 많은 반 사슬 포함 표지 된 요소하지만 어떠한 큰 반 사슬 함유하지라벨이 지정된 요소 $L_i$ $b$ $a$

또한, 그러한 파티션은 PTIME으로 계산 될 수있다.

현재 증명 자료를 온라인에 게시했습니다 . 우리는 지금 결과에 대한 사용이 없기 때문에 매우 거칠고 본질적으로 교정되지는 않지만, 현재 진행 상황과 함께이 CStheory 질문에 대한 답변을 추가하는 것이 더 어렵다고 생각했습니다. 결과에 관심이 있지만 증거를 이해할 수없는 경우 주저하지 말고 저에게 연락하십시오.

— a3nm
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