RP에 대해 진정한 임의성 (아마도)을 Kolmogorov 임의성으로 대체 할 수 있습니까?

Kolmogorov의 무작위성 이 RP에 충분 하다는 것을 보여 주려는 시도가 있었습니까? "정답이 YES이면 확률 론적 튜링 머신은 YES를 확률과 함께 반환합니다"라는 문장에 사용 된 확률이 항상 잘 정의되어 있습니까? 아니면 해당 확률에 대한 상한과 하한 만 있습니까? 아니면 확률이 잘 정의 된 확률 적 튜링 머신 만 있을까요 (적어도 하한은 1/2보다 커야합니까)?

여기서 RP 클래스는 비교적 임의적이며, Kolmogorov 임의성보다 (의사) 임의성에 대한 약한 개념을 요구할 수도 있습니다. 그러나 Kolmogorov의 무작위성은 좋은 출발점이 될 것 같습니다.

"확률"이라는 단어를 이해하는 것은 Kolmogorov의 무작위성이 RP에 효과적이라는 것을 보여주는 시도의 일부일 것입니다. 그러나 가능한 한 가지 접근 방식을 설명하고 그 의미가 무엇인지, 왜 상한과 하한에 대해 이야기했는지 설명하려고합니다.

를 (콜 모고 로프 임의의) 문자열로 하자 . 를 RP의 언어에 해당하는 주어진 확률 적 튜링 머신 이라고하자 . 실행 와 랜덤 비트의 소스로서 에서 이전에 사용되지 않은 비트 소모 지속 시간, 하나씩. $s$ $A$ $A$ $s$ $n$ $s$

들어 ,하자 및 . 그 관찰 와 아니라 주어진 문자열에 대해 정의 된 그것이 무작위하지 않을 경우에도. 그러나 가 Kolmogorov 임의 경우 인지 또는 두 개의 임의 Kolmogorov 임의 문자열 및 대해 입니다. 또는 Kolmogorov 임의 문자열에 대해 와 같은 가 있는지 여부 $p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$ $p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$ $p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$ $p_+^s$ $p_-^s$ $s$ $p_+^s=p_-^s$ $s$ $p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$ $s_1$ $s_2$ $p\geq 1/2$ $p\leq p_-^s$ $s$ .

randomized-algorithms randomness pseudorandomness

— 토마스 클림 펠
소스

질문을 이해하지 못합니다. "<복잡성 클래스>에 <랜덤의 개념>이 충분하다"는 무슨 뜻입니까? RP는 Kolmogorov 임의 문자열에 대한 오라클을 사용하여 다항식 시간에 임의 추출 할 수 있습니다.

— Emil Jeřábek

나는 RP가 "작동"한다고 말함으로써 당신이 의미하는 바를 이해하지 못합니다. 마지막 주석을 이해하지 못합니다 (RP 기계는 정의에 의해 또는 많은 불편을 겪는 경우 일반적으로 손실없이 다단계로 많은 단계 후에 항상 중지됩니다 정의).

— Emil Jeřábek

질문 자체에서, 나는 또한 Kolomogorov 임의 문자열에 대해 이야기 할 때 "확률"이 무엇을 의미하는지 이해하지 못합니다. 랜덤 분포에서 추출 된 일반적인“랜덤 스트링”과 달리 콜로 모고 로프 랜덤은 실제 예 – 주어진 스트링이 가지고 있거나 가지고 있지 않은 속성입니다. 따라서 이러한 문자열이 알고리즘을 허용하는지 여부는 임의 변수가 아니므로 확률에 대해 묻는 것은 의미가 없습니다.

— Emil Jeřábek

이에 대한 합리적인 접근 방식은 알고리즘 임의 문자열의 "구조적 Martingales"관점을 취하는 것입니다. 특히, 하나의 경우 희망 수 바보 실패 , 다음이를위한 "다음 비트 예측"로 번역 할 하는 베팅 전략 시연에 다음과 무작위로하지 않습니다. 이 방법이 효과가 있더라도 및 의미있는 수렴 률을 제공하는지 여부는 알 수 없습니다 . 그러나이 아이디어를 사용하는 복잡성 클래스 (키워드 : "리소스 바운드 측정")를 연구하는 데는 더 오래된 접근법이 있기 때문에 희망이 있습니다.

s

$s$

A

$A$

s

$s$

s

$s$

p_{+}

$p_+$

p_{-}

$p_-$

— Andrew Morgan

내 이전 의견에 대한 관련 Wikipedia 링크 (추가 참조가 있음) : 건설적인 Martingales (제 3 정의 참조) 및 자원 제한 조치

— Andrew Morgan

나는 여기서 "질문은 대략" " 우리는 알고리즘에서 임의의 비트 시퀀스를 적절하게 긴 콜로 모고 로프 임의의 문자열에서 결정적으로 추출 된 비트로 대체 할 수있는 감각 이 있는가? " 대답! (짧은 대답은 "예,하지만 먼저 오류 확률을 증폭 한 경우에만"입니다.)

예...

우리는 분명히 여기서 말할 수 있습니다. 하자 일부 언어하고하자 입력으로 취 알고리즘 될 랜덤 문자열 (위에 균일 분포 ) st . 즉, 는 최대 확률로 오류를 일으키는 알고리즘입니다 . $L$ $A$ $x$ $r\in U_{f(|x|)}$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$ $A$ $\epsilon(\cdot)$

공지 사항 지금하면 것을 에 대한 오답 제공 즉, ,이 우리에게 설명하는 몇 가지 수단 제공 , 특히를, 우리는 그것을 설명 할 수 에서 가 오류 를 일으키는 번째 문자열 이를 위해, 우리는 단순히 , , 및 비트 을 하드 코딩 한 기계를 만들고 에서 선택을 열거합니다. 가 발견 될 때까지 의 번째 선택 이되도록 . $A$ $(x,r)$ $A(x,r)\not=L(x)$ $r$ $i$ $A$ $x.$ $x$ $A$ $i$ $b=1\iff x\in L$ $r'$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $i$ $r'$ $A(x,r')\not= b$

이제 임의의 문자열을 잘못 선택하여 설명으로 활용할 수 있음을 알았으므로 에 대한 설명을 압축으로 변환 하기에 충분한 조건을 살펴 보겠습니다 . 을 설명 하기 위해 , , 를 설명 할 수있는 충분한 비트가 필요하며 프로 시저 코드 ( 코드 와 설명 된 루틴)를 길이 $r$ $r$ $x$ $i$ $b$ $A$

| x | + | i | + O (1) = | x | + \log_{2} (2^{f (| x |)} ϵ (x)) + O (1) = | x | + f (| x |) - \log (1 / ϵ (x)) + O (1) .

$|x|+|i|+O(1)=|x|+\log_2(2^{f(|x|)}\epsilon(x))+O(1)=|x|+f(|x|)-\log(1/\epsilon(x))+O(1).$

회수는 길이이다 이 압축 변형하므로, 경우 예를 들면, 입니다. $r$ $f(|x|)$ $r$

\log (1 / ϵ (x)) = | x | + ω (1),

$\log(1/\epsilon(x)) = |x|+\omega(1),$

ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}

$\epsilon(x)=1/2^{2|x|}$

마지막으로 이 Kolmogorov 임의 문자열 인 경우 의 오류 확률 이 충분히 작은 한 임의의 비트 시퀀스 대신 Kolmogorov 임의 문자열이 에 응답하게됩니다. 바르게! $r$ $A$ $A$

우리가 에 대해 활용하는 유일한 것은 오류 확률이 작다는 것입니다. 실행 시간이 너무 길거나 한두 가지 오류가 있는지는 신경 쓰지 않습니다 . $A$ $A$ $A$

이것을 (또는 또는 ) 문제로 다시 가져 오면 알고리즘의 오류 확률을 증폭시키는 한 임의의 비트 대신 Kolmogorov 임의 문자열을 사용할 수 있다고합니다. $RP$ $coRP$ $BPP$

...하지만 먼저 증폭해야합니다.

후속 질문은 "오류 확률을 증폭시키지 않고 이것을 할 수 있습니까?" 를 결정 하고 오차가 다음 알고리즘 를 고려하십시오 . $A$ $\{0,1\}^*$ $1/2^n$

입력 : $x$

문자열 생성 $r\in\{0,1\}^n$
만일 , 거절. $r=x$
동의하기.

공지 사항의 모든 선택에 대한 것을 의 몇 가지 선택이 있도록 것이 단점 ,의, 즉 선택 그 입니다 우리가 사용하는 비트의 임의의 순서로 대체 할 수 있도록 증폭없이 콜 모고 로프 임의의 문자열을 오류 확률입니다! $r$ $x$ $A$ $x$ $r$ $x$ $A$

출처에 대한 참고 사항 :이 중 어떤 것이 소설인지 확실하지 않지만, 자격 시험을위한 글쓰기에 첫 번째 주장을 포함 시켰습니다.

— 딜런 맥케이
소스

내 친구 Preetum은 기계 을 인코딩하고 인지 아닌지를 나타내는 비트를 인코딩 할 수있을 때 결정 하는 어리 석음을 지적했습니다 . 이를 반영하여 답변을 편집하겠습니다.

M

$M$

M (x)

$M(x)$

x \in L

$x\in L$

— Dylan McKay

Mike Sipser는 그의 멋진 논문 sciencedirect.com/science/article/pii/0022000088900359 에서 비슷한 종류의 압축 인수를 사용했습니다 (필요한 확장기 그래프는 실제로 명시 적으로 dl.acm.org/citation.cfm?id=273915로 구성되어 있음에 유의하십시오) )

— Ryan Williams