SAT는 문맥이없는 언어입니까?

나는 모든 만족할 수있는 명제 논리 공식, SAT 의 언어를 고려하고 있습니다 (이것은 유한 알파벳을 갖기 위해 우리는 명제 문자를 적절한 방법으로 인코딩 할 것입니다 . [편집 : 대답은 질문에 대한 대답이 강력하지 않을 수 있다고 지적했습니다 다양한 인코딩으로 인해 더 구체적이어야합니다-아래 내 결론 참조] ). 내 간단한 질문은

가 SAT는 문맥 - 자유 언어?

첫 번째 추측은 오늘 (2017 년 초)의 대답은 "이것은 복잡한 이론에서 해결되지 않은 질문과 관련이 있기 때문에 아무도 모른다"는 것입니다. 그러나 이것은 사실이 아니지만 (아래 답변 참조) 완전히 거짓은 아닙니다. 다음은 우리가 알고있는 것들에 대한 간략한 요약입니다 (명백한 것부터 시작).

1. SAT 는 규칙적이지 않습니다 (대칭 괄호로 인해 명제 논리의 구문조차 규칙적이지 않기 때문에)
2. SAT 는 상황에 따라 다릅니다 (LBA를 제공하는 것은 어렵지 않습니다)
3. SAT 는 NP-complete (Cook / Levin)이며, 특히 다항식 시간에 비 결정적 TM에 의해 결정됩니다.
4. SAT 는 단방향 비 결정적 스택 오토마타 (1-NSA)로도 인식 할 수 있습니다 (WC 라운드, 중간 레벨 언어의 인식 복잡성 , 스위칭 및 오토마타 이론, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 참조). 10.1109 / SWAT.1973.5 )
5. 문맥이없는 언어에 대한 단어 문제는 자체 복잡성 클래스 ( https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl 참조 )$\textbf{CFL}$
6. , 여기서 LOGCFL 은 CFL로 환원 할 수있는 로그 공간 문제 클래스입니다(https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl 참조). NL ⊆ LOGCFL 인 것으로 알려져있습니다.$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. $\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$$\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

그러나이 마지막 점은 여전히 SAT 가 에없는 것으로 알려져 있습니다 . 일반적으로 과 계층 의 관계에 대한 질문을 잘 이해하지 못했습니다 .$\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

비고 (일부 초기 답변을 본 후) : 공식이 결속적인 정규 형식이 될 것으로 기대하지 않습니다 (답변의 본질에 차이를 만들지 않으며 일반적으로 CNF도 공식이므로 인수가 여전히 적용됩니다. 상수의 변수 수 버전 문제는 구문에 괄호가 필요하기 때문에 규칙적인 실패라고 주장합니다.)

결론 : 저의 복잡성 이론에서 영감을 얻은 추측과 달리 SAT 에 상황이 없다는 것을 직접 보여줄 수 있습니다 . 따라서 상황은 다음과 같습니다.

1. 그것은 것으로 알려져있다 SAT가 있다 문맥 자유하지 (즉 SAT가 아닌 ,) 하나가 코딩하는 "직접"사용하는 가정하에 명제 변수가 이진 숫자로 식별되는 식의을 (일부 추가 기호는 연산자 및 구분 기호에 사용됩니다.$\textbf{CFL}$
2. SAT 가 에 있는지 여부는 알 수 없지만 "대부분의 전문가는 의미하기 때문에 그렇지 않다고 생각 합니다. 이는 또한 SAT의 다른 "합리적인"인코딩에 컨텍스트 가 없는지 여부를 알 수 없음을 의미합니다 (NP-hard 문제에 대해 로그 공간을 수용 가능한 인코딩 노력으로 가정 할 경우).$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

이 두 점이 의미하지는 않습니다 . 이것은 문맥이없는 (예 : ) 언어가 (따라서 ) 인 언어를 보여줌으로써 직접 표시 할 수 있습니다 .$\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

잘 알려진 결과를 혼합하여 사용하는 대체 증거입니다.

한다고 가정:

• 변수는 정규식$d = (+|-)1(0|1)^*$
• CNF 공식을 나타내는 데 사용되는 ( 일반 ) 언어 ( 는 다음과 같습니다. ; 것을 단지 참고 변수 이름 변경에 유효한 모든 CNF 공식을 잡고.$\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

예를 들어 은 다음과 같이 : ( 연산자가 보다 우선합니다 ) .$\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

한다고 가정 세인트 상응하는 화학식 만족할 수있다 CF이다.$L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

정규 언어와 교차하면 여전히 CF 언어를 얻습니다. 또한 , 과 같은 동질성을 적용 할 수 있으며 언어는 CF로 유지됩니다.$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

그러나 우리가 얻는 언어는 다음과 같습니다 : , 이면 "source"공식은 는 만족할 수 없습니다 ( 와 유사 ). 그러나 은 잘 알려진 비 CF 언어 모순입니다.$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

변수의 수가 유한 한 경우 만족할만한 연결의 수도 그러하므로 SAT 언어는 유한하며 따라서 규칙적입니다. [편집 :이 주장은 CNFSAT 형식을 가정합니다.]

그렇지 않으면 와 같은 수식 을 로 인코딩하는 것에 동의합시다. . 우리는 Ogden의 명예 를 사용 하여 만족스러운 모든 연결의 언어에 컨텍스트가 없음을 증명할 것입니다.( 17 + $(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

하자 오그의 표제어에 "표시"일정하고 포화-화학식 고려 모국어 절 구성 - 즉, 인코딩 , 여기서 구성된 진수 인 그들. 우리는 를 로 표시 한 다음 의 적절한 분해에 대한 모든 펌핑 (오그 덴의 정리 정리 참조)도 만족할 수 있어야합니다. 그러나 포함하는 절이 이를 쉽게 차단할 수 있습니다 . 여기서 는 보다 짧은 시퀀스입니다.w ( 1 p ) ( x N ) N p p 1 p w x q q 1 p w x q$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$$1^p$$w$$x_q$$q$$1$$p$예를 들어, 다른 모든 절이 그러한 모든 의 부정을 있습니다. 이는 가 "음성 펌핑"속성에 실패하고 언어에 컨텍스트가 없다는 결론을 내립니다. [참고 : 펌핑이 잘못된 문자열을 생성하는 사소한 경우는 무시했습니다.]$w$$x_q$$w$