찾기보다 검증하기 쉬운 대수 길이 감시의 예

비 결정적 비트를 사용하는 다항식 비결정론 적 프로그램 으로 문제 를 결정할 수 있는 경우 (즉, 모든 증인의 길이는 로그 길이 임) 입니다. $A$ $O(\log n)$ $A \in \mathsf{P}$

그렇다면 "증인을 찾는 것보다 증인을 확인하는 것이 더 쉬운가?"라는 질문을하면 그러한 문제에 대해 모든 다항식 실행 시간이 동등한 것으로 간주되면 대답은 '아니오'입니다. 모든 잠재적 증인을 검색하여 다항식 시간에 그러한 증인을 찾을 수 있기 때문입니다.

그러나 다항식 실행 시간을 세밀하게 구분하면 어떻게 될까요? 에 자연 길이 문제에 대한 구체적인 예가있는 것보다 궁금합니다 . 여기서 "쉽게"는 다항식 실행 시간이 더 작은 것을 찾는 것보다 확인하기 쉬운 대수 길이의 목격자가 있습니다. $\mathsf{P}$

예를 들어, 그래프에서 완벽하게 일치하는 알려진 알고리즘은 다항식 시간이 걸리지 만 노드가 있는 그래프 에서는 시간 보다 오래 걸립니다 . 그러나 쌍의 노드 세트 (증인)가 있으면 시간 에서 일치 하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 일치 자체 를 인코딩 하려면 비트가 필요합니다 . $O(n)$ $n$ $n/2$ $O(n)$ $\Omega(n)$

목격자가 대수 길이를 갖는 검증 대 발견에서 유사한 (명백한) 속도 향상을 달성하는 자연적인 문제가 있습니까?

cc.complexity-theory

— 데이브 도티
소스

비트 입력 문자열이 모두 0 문자열과 같지 않은지 계산하는 문제를 고려하십시오 . 이 작업을 수행하는 데

시간이 걸리지 만

크기 감시 (

가리킴 )로 인해 랜덤 액세스 시스템에서이 작업이 훨씬 쉬워집니다.

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

\log n

$\log n$

1

$1$

— Robin Kothari

랜덤 액세스 머신에서 최소한 선형 검증 시간에 문제가 있다고 생각하면이 질문이 특히 흥미 롭습니다. 논문 web.stanford.edu/~rrwill/improved-algs-lbs2.pdf 의 섹션 4는

비결정론을 사용 하더라도 철저한 검색보다 보편적으로 개선 된 결과를 보여줍니다 . (섹션 5조차도 무조건 하한을 증명합니다.)

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

길이 의 주어진 2 진 입력 가 회문이 아닌지를 결정하는 결정 문제를 고려하십시오 . $x$ $n$

단일 테이프 TM 이이 문제를 해결하기 위해 최소한 시간이 필요하다는 표준 통신 복잡성 증거가 있습니다. $O(n^2)$

한편, 우리는 또한 함께 결정적 알고리즘을 사용하여이 문제를 해결할 수있는 의 길이 감시 :이 알고리즘은 수용 할 때마다 개시로부터 번째 비트 로부터 상이 의 단부로부터 번째 비트 . 길이 비트 스트링 의 시작 또는 끝으로부터 번째 비트를 식별하는 것은 단일 테이프 TM상에서 시간 내에 달성 될 수있다 . $\log(n)$ $i$ $i$ $x$ $i$ $x$ $i$ $n$ $O(n \log n)$

— 미하일 루 도이
소스

기본적으로 비결정론 적 결정 론적 결정 론적 의사 소통 복잡성 (두 문자열의 동등성에 대한)을 비결정론 적 결정 론적 단일 테이프 TM의 분리로 "차이"하고 있습니다.

— 라이언 윌리엄스