하나의 항목을 변경하면 다항식 계층 구조에서 행렬의 영구성이 감소하는지 여부를 결정하고 있습니까?

다음과 같은 문제를 고려하십시오 : 행렬 , 인덱스 및 정수 . 교체 하여 새로운 매트릭스 호출 . 가 ? $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$

다항식 계층 구조에서이 문제가 있습니까?

permanent

— 티....
소스

#P 오라클에 대한 두 번의 호출로 해결할 수 있습니다. PH에 있으면 PP도 PH에 있음을 의미합니다. 그러나 PP가 PH에 있으면 PH가 축소됩니다. 그래서 PH에있을 가능성은 적습니다.

— Tayfun Pay

@TayfunPay 나는 논쟁이 맞다고 생각하지 않습니다. 이 문제는 #P에 대한 두 번의 호출로 해결할 수 있지만 PH에 있음을 나타내는 간단한 알고리즘이있을 정도로 쉽게 배제 할 수는 없습니다. 예를 들어 Permanent를 줄임으로써 #P가 어렵다는 것을 보여 주어야합니다.

— Jan Johannsen 2012

퍼머넌트의 정의를 꽂고 결과 부등식을 단순화하면 주어진 (n-1) x (n-1) 행렬의 퍼머넌트가 엄격하게 양수인지에 대한 문제가 문제로 귀결됩니다.

— Gamow 2019

@Gamow 및 다른 방법으로, 즉 이이 문제로 감소 될 수 있는지 여부를 결정합니다 . 행렬 주어지면 상단에 줄을 추가하고 왼쪽에 열을 왼쪽 상단에 1을 추가하고 그렇지 않으면 0을 추가하여 을 구성 하십시오. 이제 왼쪽 상단 항목이 로 대체 된 행렬 이라고하자 . 그런 다음 을 다중 첫 번째 열을 개발합니다. 따라서 에 터보 문제 IFF , 및 true를 반환.

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$

— holf

@ 홀프 : 나는 당신이 이것을 답변으로 게시해야한다고 생각합니다. 그것은 확실히 결정적으로 그 질문에 대답하고, 그 질문은 더 이상 "답변하지 않은"것으로 나타나지 않을 것입니다.

— Joshua Grochow

인지 여부에 따라 을 테스트하면 문제가 발생 합니다 . $M$ $PER(M) > 0$

증명 : 이 주어지고 인지 여부를 결정하려고 한다고 가정하십시오 . 우리는 다음과 같이 을 구성한다 : 그것은 임을 쉽게 알 수 있습니다 . 이제 정의 로 우리는 대체 어디에 의 항목 하여 . 다중 은 입니다. 따라서 경우에만, $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & 미디엄 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

이제 , 및 가 주어지고 질문에서와 같이 을 정의 한다고 가정하십시오. 를 . 우리가 $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} 피 이자형 아르 자형 (미디엄) > & 피 이자형 아르 자형 (\hat{미디엄}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{케이 = 1}^{엔} 미디엄 [케이, σ (케이)] > & \sum_{σ} \prod_{케이 = 1}^{엔} \hat{미디엄} [케이, σ (케이)] iff \\ \sum_{σ, σ (나는) = 제이} 미디엄 [나는, 제이] \prod_{케이 \neq 나는}^{엔} 미디엄 [케이, σ (케이)] > & \sum_{σ, σ (나는) = 제이} ㅏ \prod_{케이 \neq 나는}^{엔} 미디엄 [케이, σ (케이)] iff \\ (미디엄 [나는, 제이] - ㅏ) \cdot \sum_{σ, σ (나는) = 제이} \prod_{케이 \neq 나는}^{엔} 미디엄 [케이, σ (케이)] > & 0 iff \\ (미디엄 [나는, 제이] - ㅏ) \cdot 피 이자형 아르 자형 ({미디엄}^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

여기서 은 행 과 행을 제거하여 에서 얻은 행렬 입니다. $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— 홀프
소스

좋은 답변이지만 OP의 질문에 대한 답변도 명시 적으로 언급 할 가치가 있습니다.

— Stella Biderman