“외 계속”그래프의 트리 폭이 일정합니까?

하자 하고 넣어야 속의 표면에 삽입 할 수있는 모든 그래프의 세트 모든 정점이되도록 외면 상에 위치되어이 . 예를 들어, 은 외부 평면 그래프 세트입니다. 그래프에서의 treewidth 수 상부의 일부 기능에 의해 제한되는 ? $k\in\mathbb{N}$ $G_k$ $k$ $G_0$ $G_k$ $k$

일정한 나무 폭은 일정한 속을 암시하지 않기 때문에 다른 방향은 분명히 유지되지 않습니다 은 의 분리 된 사본의 합집합 이라고합시다 . 의 나무 폭 은 일정하지만 속은 입니다. $H_n$ $n$ $K_{3,3}$ $H_n$ $n$

— 라두 쿠티 카피 안
소스

노드가있는 정사각형 그리드의 트리 너비는

n

$n$

. 평면 그래프에서는 NP-hard이지만 최대 독립 세트와 같이 경계 트리 폭 그래프의 경우 P에는 많은 문제가 있습니다. 나는 다른 방법으로 어떤 예도 보지 못했다

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Yaroslav Bulatov

죄송합니다. 실제로 잘못된 질문을 제기하여 위의 질문을 수정해야했습니다.

— Radu Curticapean

예.

외부면의 중간에 정점을 추가하고 외부면의 모든 정점에 연결합니다. 이것은 속을 변경하지 않으며 나무 폭을 줄이지 않습니다. 이제 그래프에는 새로운 정점에 근간이되는 매우 얕은 너비의 검색 트리가 있습니다 (모든 것이 인접 해 있습니다).

이중 가장자리가 너비가 넓은 첫 번째 검색 트리의 가장자리에서 분리 된 이중 그래프의 스패닝 트리를 형성합니다. 그런 다음 어느 트리에도 속하지 않는 O (속) 가장자리 세트가 있습니다. 이러한 각 모서리는 너비가 넓은 첫 번째 검색 트리의 경로와 함께 짧은주기 (삼각형)를 유도하고 이러한주기를 따라 표면을 절단하면 평면 표면이 생성됩니다 (내 논문 "지형적으로 포함 된 그래프의 동적 생성기"참조). 즉, G '가 O (속) 절단 모서리의 끝 점이 아닌 정점에 의해 유도 된 입력 그래프의 하위 그래프 인 경우 G'는 평면이며 해당 정점은 O (속)면으로 덮을 수 있습니다. 평면 임베딩 (절단 사이클이 원래 외부면을 자르는면).

그러나 모든 정점이 k면에 속하는 평면 그래프에서 외부 평면 그래프를 얻기 위해 다른 O (k) 모서리 (면의 스패닝 트리)를 제거 할 수 있습니다. 따라서 G '의 나무 폭은 O (속)입니다. 이 폭으로 G '의 트리 분해를 형성 한 다음 절단주기 모서리의 끝점 인 정점을 각 백에 추가하면 트리 폭이 O (속) 인 원래 입력 그래프의 트리 분해가 발생합니다.

이것은 아마도 어딘가에 문헌에 있어야 할 것 같지만, 정확한 결과에 대한 명시 적 진술을 찾는 데 성공한 곳과 빠른 검색이 무엇인지 모르겠습니다. 그러나 더 일반적인 진술은 다른 논문에 있습니다. "단소 그래프 패밀리의 직경과 나무 너비"에서 경계 지름의 경계 속 그래프가 나무 너비에 경계를 달았습니다. 이 경우 (외부면에 추가 정점을 추가하여) 직경은 최대 2 개가 될 수 있습니다.

— 데이비드 엡스타인
소스