최대 크기의 최소 DFA 수

허락하다 $\Sigma$ 알파벳이되다 $2$ 크기가 최대 한도 인 최소 DFA를 고려하십시오. $m$ . 허락하다 $f(m)$ 서로 다른 최소 DFA 수를 나타냅니다.

에 대한 폐쇄 형 공식을 찾을 수 있습니까? $f(m)$ ?

그것을 고려하여 $|\Sigma|=2$ 최대 크기의 DFA의 전환 기능 $m$ 그래프입니다. 노드 정도는 $2$ 각 노드마다 $m^2$ 호 쌍의 가능성 (주석에서 제안한 바와 같이). 이 그래프에는 최대 $m$ 초기 상태 및 가능한 최대 선택 $2^m$ 최종 상태 세트의 가능한 선택. 따라서 최대 크기의 최대 DFA 수 $m$ 이다 $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$ .

임의의 알파벳으로 일반화 할 수 있습니다 $\Sigma$ : 경계가된다 $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ .

그러나 여기서는 임의의 DFA를 제한했으며 최소 DFA의 수를 제한하는 데 관심이 있습니다. 따라서이 범위가 더 엄격 해 보일 수 있습니다. 누군가 더 나은 추정치를 가지고 있습니까?

가능한 경우이 문제와 관련된 일부 문서 또는 증명 / 카운터 예를 감사하겠습니다.

— 루즈
소스

나는 당신의 상한이 맞다고 생각하지 않습니다. 그것은 있어야하는 것 같습니다

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ 오히려

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ . 각 노드마다 해당 노드에서 나오는 두 개의 호를 고려하십시오. 있다

m

$m$ 첫 번째 호가 어디로 가는지

m

$m$ 두 번째 호가 어디로 가는지

m^{2}

$m^2$ 총 가능성. 있다

m

$m$ 노드, 그래서 우리는 얻을

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ 호 세트 가능성. 일반화는

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ .

— DW

다음은 관련이있을 수있는 참고 문헌입니다. "n 개의 주와 함께 자동화 된 자동 언어로 허용되는 고유 언어 수" -citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

내 실수를 수정하고 실제로 관련이있는이 참조를 제공 한 두 분께 감사드립니다.

— Luz

답변:

Ishigami Y., Tani S. (1993)에 따르면 n 상태의 유한 오토마타 의 VC 치수 , http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , VC 치수 개념 클래스 $n$ 알파벳 크기 이상의 DFA $k$ 이다

디 = 디 (엔, 케이) : = (케이 - 1 + 영형 (1)) 엔 {로그}_{2} 엔 .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ 그것은 적어도있다

2^{d}

$2^d$ 뚜렷한

n

$n$ 상태 오토마타

k

$k$ 문자 알파벳. 이러한 오토마타의 수의 상한은 간단한 계산 인수 (종이에 나와 있음)에서 비롯되며 기껏해야

2^{d}

$2^d$ .

— 아리에
소스

감사. 나는 당신의 대답에서

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -DFA를 명시합니다 (적어도 최대). 그러나 최소 DFA를 계산하는 데 관심이 있습니다. 따라서 귀하의 상한은 내 대답에 주어진 것과 상반되지 않습니다.

— Luz

VC 차원은 표현과 무관하기 때문에 최소 DFA도 계산한다고 생각합니다. 실제로 최소 DFA에 해당하는 고유 언어를 계산하고 있습니다 .

— Aryeh

오 :( 그러면 당신의 경계는 광산과 모순됩니다 ... 광산에는 큰 분모가 있기 때문에

(m - 1)!

$(m-1)!$ 그것은 당신보다 훨씬 아래에 있습니다 ... 어떻게 오나요 ??

— Luz

모순이 보이지 않습니다-큰 분모

(m - 1)!

$(m-1)!$ 여전히 늪에

m^{m}

$m^m$ 분자에서.

— Aryeh

사실, 당신이 Thm의 증거를 보면. 링크 된 논문에서 3.2를 보면 분모에 정확한 표현이 나타납니다.

— Aryeh

(NB : 허용 된 답변에 주어진 상한은 여기에 주어진 것보다 낫거나 같습니다)

가 상위 이전 의견 중 하나에 대해,이 논문에서 제안 바인딩 : " n 개의 상태를 가진 유한 오토마타에 의해 허용 별개의 언어의 수에 "(2002 년, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .

이 논문에서 :

그만큼 $f_{|\Sigma|}(m)$ 이 기능은 고유 한 비 동형 최소 DFA 수를 제공 합니다. $m$ -상태 ${|\Sigma|}$ 문자 알파벳 ,
그만큼 $g_{|\Sigma|}(m)$ 이 기능은 DFA에서 허용하는 여러 언어를 제공 합니다. $m$ 이상 상태 ${|\Sigma|}$ 문자 알파벳 .

우리는의 상한에 관심이 있습니다 $g_{|\Sigma|}(m)$ 내 질문 에 기껏해야 최소 DFA 수의 상한을 요구하기 때문에 기능 $m$ 상태 (정확하지는 않음) $m$ ).

내가 페이지에서 이해하는 것 $6$ 정리 아래 $8$ 그게 $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ 내 질문에 주어진 것보다 더 낫습니다. $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ). 이것은 부분적으로 내 질문에 대답합니다.

그러나 논문은이 상한이 사소하고 개선 될 수 있다고 주장한다. 그러나 개선 사항은 $f_{|\Sigma|}(m)$ (내가 이해하는 한).

— 루즈
소스