로그 교대를 가진 정량화 된 부울 공식

나는 대수의 대수를 번갈아 가며 정량화 된 부울 수식 클래스에 어려운 문제를 연구하고 있습니다. 이 클래스의 문제는 다음과 같습니다.

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

여기서 로그 N = N , 및 변수의 부울 식이다 .$a_{\log n} = n$$F$$x_1 \ldots x_n$

이 클래스는 를 포함하고 포함되어 있습니다. 이 수업의 이름이 있습니까? 그것에 대해 더 알려진 것이 있습니까?$PH$$AP = PSPACE$

마이클 Wehar의 대답에 구축, 당신이 쉽게 것을 보여줄 수있는 것 같다 사용 : 계산이 polysize 같은 QBFs으로 인코딩 할 수 있습니다 O ( 로그 N ) , 교대를 각각의 p o l y ( n ) 비트, 그리고 Savitch의 정리와 유사한 인수를 수행합니다. 두 번의 교체마다 계산 실행 시간을 p o l y ( $NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$ 요인.$poly(n)$

Fortnow의 "만족을위한 시간-공간 상충 관계" 의 표기법에 따라 클래스 라고 부를 것이다.$\Sigma_{O(\log n)} P$

(1) 우리가 이미 알고있는 것 :

이미 언급했듯이, 수량 화기의 교대가있는 QBF 는 다항식 계층 구조의 모든 수준에서 어렵습니다.$\log(n)$

(2) 우리는 또한 다음을 증명할 수 있다고 생각합니다.

문제는 -hard입니다.$NSPACE(log^2(n))$

(3) 위의 주장에 대한 나의 비공식적 인 정당화는 다음과 같습니다.

주어진 의 공간과 결합 NTM 입력 문자열, 우리는 주어진 입력 문자열에 수용 계산 존재 여부를 판단 할 필요가있다.$log^2(n)$

계산의 각 구성은 기본적으로 비트로 표시 될 수 있습니다 . 다시 말해, 우리는 log 2 ( n ) 변수 그룹으로 구성을 나타낼 수 있습니다 .$\log^2(n)$$\log^2(n)$

아이디어는 시작 구성과 최종 구성이 있으며 그 사이에 발생하는 계산을 추측해야한다는 것입니다. 우리는 존재하는 수량자를 사용하여 "중간"구성을 재귀 적으로 추측하고 "왼쪽"구성이 "중간"으로 가고 "중간"구성이 모든 수량자를 사용하여 "오른쪽"으로되는지 확인하는 재귀를 반복합니다.

이제이 작업을 수행하려면 하나의 "중간"구성을 선택하는 대신 "왼쪽"과 "오른쪽"구성 사이에 동일한 간격의 "중간"구성 그룹을 선택해야합니다. 특히 √를 추측 할 수 있습니다 동일하여 존재의 한정사를 사용하여 "중간"구성 이격$\sqrt{n}$변수 그리고 대략로그(n)변수가있는모든 정량자를 사용하여 구성 사이의 모든 간격에서 반복됩니다.$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

재귀 는 길이 √ 의 계산을 수행 할 수 있도록 깊이 까지 계속하면됩니다$2 * \log(n)$여기서 각 구성에는 최대log2(n)많은 비트가 있습니다.$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$$\log^2(n)$

재귀가 깊이이기 때문에 , 우리는이 O ( 로그 ( N ) ) 변수의 그룹이 교대를 즉. 각 수량 자 그룹에는 √ 만 있으므로$O(\log(n))$$O(\log(n))$변수, 총 우리는O($\sqrt{n} * log^2(n)$변수.$O(\sqrt{n} * log^3(n))$

의견이나 수정 사항이 있으면 언제든지 문의하십시오. 대단히 감사 드리며 이것이 도움이 되길 바랍니다.

(4) Ryan의 답변에서 제안한 일반적인 주장 :

보다 일반적인 방식으로 앞의 구성을 수행 할 수 있어야합니다. 다음을 고려하세요:

재귀의 각 단계에서 구성 당 c ( n ) 비트를 사용하여 "중간"구성의 그룹으로 나눕니다 . 그런 다음 깊이 d ( n ) 까지 재귀를 수행하십시오 .$g(n)$$c(n)$$d(n)$

변수가 너무 많고 교대가 너무 많지 않으면 제대로 작동하는 것 같습니다. 대략 다음 사항을 충족해야합니다.

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

우리의 일반화 된 접근법은 c ( n ) 비트의 메모리를 사용하여 단계로 실행되는 비 결정적 튜링 머신을 시뮬레이션하는 데 사용됩니다 .$g(n)^{d(n)}$$c(n)$

특히 다음을 선택합니다.

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

앞의 불평등은 만족하고 우리는 약에 대한 실행하는 것이 시뮬레이션 비 결정적 튜링 기계에 건설 수행 할 수있는 사용 단계 $2^{\log^2(n)}$ 비트의 메모리.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

다시 말해, 이전보다 경도 결과가 더 좋습니다. 특히, 문제는 N T I S P ( 2 log 2 ( n ) , √ 에는 어렵다.$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$

(5) 추가 일반화 :

앞의 일반화에서 우리는 비 결정적 시간과 공간 제한 튜링 머신을 시뮬레이션했습니다. 그러나 교대 시간과 공간이 제한된 튜링 기계도 시뮬레이션 할 수 있습니다.

조금 설명하겠습니다. 따라서 우리는 대략 교대를 사용하여 깊이 로그 ( n ) 까지 재귀를 수행합니다 . 그러나 처음에는 일부 교대를 사용할 수 있습니다. $\log(n)$$\log(n)$ . 그러면 나머지 √를 사용할 수 있습니다$\sqrt{\log(n)}$깊이로 이동하는 로그 ( n ) 교대$\sqrt{\log(n)}$ .$\sqrt{\log(n)}$

이 경우, 우리는 선형 감시 길이가있는 로그 ( n ) 교대,2 로그 3에 대해 실행$\sqrt{\log(n)}$단계를 사용하고√를사용하십시오$2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$ 비트의 메모리.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

즉, 문제는 하드이다 패 t의 T 나 해요 전자 S에서 P C 전자 ( √은 부분 선형 증인 길이입니다. 대안 적으로,이 클래스는위 주석에서 언급 된STA표기법을사용하여 작성할 수 있습니다.$AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$$STA$

의견을 보내 주셔서 감사하며 추가 수정이나 설명을 자유롭게 제공하십시오. :)

더 짧은 대답.

초기 관찰 :

• 다항식 계층 구조의 모든 수준에서 문제는 어렵습니다.
• 다항식 시간 동안 실행 되는 교대가있는 교대 Turing 기계에는 문제가 없습니다 .$\log(n)$

더 깊은 통찰력 :

• 상기 카베 주석의 제안에 대한 계산을 인코딩 할 문제 기계 튜링.$AltTime(\log(n), n)$
• 또한 Ryan이 지적했듯이 문제는 N T i m e S p a c e ( 2 log 2 ( n ) , √에 대한 계산을 인코딩 할 수 있습니다$NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$

• $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$$a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ has to be, but we know that:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

See my longer answer for more details on the trade-offs between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

Note: In the above, when I say encode computations, I mean encode the computation without blowing up the instance size too much. That is, if we blow-up from $n$ size Turing machine input to $poly(n)$ size formula, then I think that although the blow-up is polynomial, it is good to pay close attention to the degree of the polynomial. The reason for the semi-fine-grained perspective is to try and slightly better recognize how the different complexity measures $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ depend on each other.